Einschränkungen der Hamiltonschen Feldgleichungen

Question

Einschränkungen der Hamiltonschen Feldgleichungen

Okazaki

Betrachten wir die Lagrange-Funktion

L = - \frac{1}{2} (\partial_{μ} ϕ^{v})^{2} + \frac{1}{2} (\partial_{μ} ϕ^{μ})^{2} + \frac{1}{2} M^{2} ϕ_{μ} ϕ^{μ},

$\mathcal{L}~=~-\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi^\nu)^2+\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi^\mu)^2+\frac{1}{2}m^2\phi_\mu \phi^\mu,$

mit Minkowski-Metrik $\eta_{\mu\nu}={\rm diag}(+1,-1,-1,-1)$

Die Bewegungsgleichungen lauten dann

- \partial_{v} \partial^{v} ϕ_{μ} + \partial_{μ} \partial^{v} ϕ_{v} - M^{2} ϕ_{μ} = 0.

$-\partial_\nu\partial^\nu\phi_\mu + \partial_\mu\partial^\nu\phi_\nu-m^2\phi_\mu~=~0.$

Nehmen wir die vier Divergenzen, die wir finden $\partial_\mu\phi^\mu=0$ so können wir die Bewegungsgleichungen auf reduzieren

(\partial_{v} \partial^{v} + M^{2}) ϕ_{μ} = 0.

$(\partial_\nu\partial^\nu +m^2)\phi_\mu~=~0.$

Das ist alles in Ordnung. Wenn ich jedoch auf den Hamiltonschen Formalismus umwandle, funktionieren die Dinge nicht ganz. Die konjugierten Impulse sind gegeben durch

π_{μ} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{0} ϕ^{μ})} = - \partial^{0} ϕ_{μ} + \partial^{v} ϕ_{v} δ_{μ}^{0}

$\pi_\mu~=~\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_0\phi^\mu)}~=~-\partial^0\phi_\mu + \partial^\nu\phi_\nu\delta^0_\mu$

woraus wir die Nebenbedingungsrelation erhalten

π_{0} - \partial^{ich} ϕ_{ich} = 0

$\pi_0-\partial^i\phi_i~=~0$

mit $i=1,2,3$ .

Der Hamiltonian $\mathcal{H}$ wird von gegeben

H = π_{μ} \partial_{0} ϕ^{μ} - L

$\mathcal{H}~=~\pi_\mu\partial_0\phi^\mu-\mathcal{L}$

und die Hamiltonschen Gleichungen sind

\frac{\partial H}{\partial π_{μ}} = \partial_{0} ϕ^{μ}

$\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial\pi_\mu}~=~\partial_0\phi^\mu$ Und

\frac{\partial H}{\partial ϕ_{μ}} = - \partial_{0} π^{μ} .

$\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial\phi_\mu}~=~-\partial_0\pi^\mu.$

Wenn ich jetzt den Hamiltonian explizit ausschreibe und die Einschränkungen usw. einbeziehe, wird der Ausdruck ziemlich kompliziert. Dann ergibt die Berechnung des eom etwas nicht sehr Schönes, das nicht mit meiner ursprünglichen Bewegungsgleichung übereinstimmt. BEARBEITEN: Ich habe gerade festgestellt, dass dies sowieso nicht der Fall sein sollte, da es sich um eine PDE zweiter Ordnung und zwei PDEs erster Ordnung handelt. Die Eom kommen immer noch nicht so heraus, wie sie sollten.

Gibt es etwas Besonderes, worauf ich achten sollte?

Timäus

Ihre erste Zeile macht keinen Sinn, wie geschrieben. Du hast ein

μ

$\mu$ und ein

ν

$\nu$ unter dem Quadrat. Bedeutet das Quadrat, dass Sie denselben Ausdruck einfach zweimal schreiben möchten, also haben Sie eine implizite Doppelsumme über dem

μ

$\mu$ Und

ν

$\nu$ ?

QMechaniker

@Timaeus: Es scheint, dass der erste Begriff

- \frac{1}{2} (\partial_{μ} ϕ^{ν})^{2}

$-\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi^\nu)^2$ in der Lagrange-Dichte bedeutet

- \frac{1}{2} \partial_{μ} ϕ^{ν} \partial^{μ} ϕ_{ν}

$-\frac{1}{2}\partial_\mu\phi^\nu\partial^\mu\phi_\nu$ .

Okazaki

Ja, das ist richtig @Timaeus

Antworten (1)

Einschränkungen der Hamiltonschen Feldgleichungen

Ihre erste Zeile macht keinen Sinn, wie geschrieben. Du hast ein $\mu$ und ein $\nu$ unter dem Quadrat. Bedeutet das Quadrat, dass Sie denselben Ausdruck einfach zweimal schreiben möchten, also haben Sie eine implizite Doppelsumme über dem $\mu$ Und $\nu$ ?
@Timaeus: Es scheint, dass der erste Begriff $-\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi^\nu)^2$ in der Lagrange-Dichte bedeutet $-\frac{1}{2}\partial_\mu\phi^\nu\partial^\mu\phi_\nu$ .

QMechaniker · Answer 1

OP schrieb (v3):

Gibt es etwas Besonderes, worauf ich achten sollte?

Ja. Achten Sie auf sekundäre Einschränkungen , vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.

Unten folgt eine kurze teilweise Herleitung.

Lassen Sie griechische Buchstaben $\mu,\nu,\ldots$ bezeichnen Raumzeit-Indizes, während römische Buchstaben $i,j,\ldots$ bezeichnen nur räumliche Indizes. Die Lagrange-Dichte
$L = - \frac{1}{2} \partial_{μ} ϕ^{v} \partial^{μ} ϕ_{v} + \frac{1}{2} (ϕ_{, μ}^{μ})^{2} + \frac{1}{2} M^{2} ϕ^{μ} ϕ_{μ}$ ${\cal L}~=~ -\frac{1}{2}\partial_{\mu}\phi^{\nu}\partial^{\mu} \phi_{\nu} +\frac{1}{2}(\phi^{\mu}_{,\mu})^2+\frac{1}{2}m^2\phi^{\mu}\phi_{\mu}$ $\begin{matrix} (A) & = \frac{1}{2} {\dot{ϕ}}^{ich} {\dot{ϕ}}^{ich} + {\dot{ϕ}}^{0} ϕ_{, ich}^{ich} + \frac{1}{2} (ϕ_{, ich}^{ich})^{2} - v, \end{matrix}$ $~=~\frac{1}{2}\dot{\phi}^i\dot{\phi}^i+ \dot{\phi}^0\phi^i_{,i} +\frac{1}{2}(\phi^i_{,i})^2-{\cal V},\tag{A}$ mit Potentialdichte $\begin{matrix} (B) & - v := \frac{1}{2} \partial_{ich} ϕ^{μ} \partial_{ich} ϕ_{μ} + \frac{1}{2} M^{2} ϕ^{μ} ϕ_{μ}, \end{matrix}$ $-{\cal V}~:=~\frac{1}{2}\partial_i\phi^{\mu}\partial_i\phi_{\mu} +\frac{1}{2}m^2\phi^{\mu}\phi_{\mu}, \tag{B}$ und mit Minkowski-Metrik $\eta_{\mu\nu}={\rm diag}(+1,-1,-1,-1)$ .
Der Impuls ist gleich der Geschwindigkeit
$\begin{matrix} (C) & π_{ich} = {\dot{ϕ}}^{ich}, \end{matrix}$ $\pi_i~=~\dot{\phi}^i,\tag{C}$ ausser für $\pi_0$ .
Die primäre Einschränkung lautet
$\begin{matrix} (D) & χ^{1} := π_{0} - ϕ_{, ich}^{ich} \approx 0. \end{matrix}$ $\chi^1~:=~\pi_0- \phi^i_{,i}~\approx~0.\tag{D}$
Die Hamiltonsche Dichte wird
$\begin{matrix} (E) & H = - \frac{1}{2} π_{μ} π^{μ} + v . \end{matrix}$ ${\cal H}~=~-\frac{1}{2}\pi_{\mu}\pi^{\mu}+{\cal V}. \tag{E}$
Die CCRs lesen
$\begin{matrix} (F) & {ϕ^{μ} (X), π_{v} (j)}_{P B} = δ_{v}^{μ} δ^{3} (X - j), \end{matrix}$ $\{\phi^{\mu}({\bf x}),\pi_{\nu}({\bf y})\}_{PB}~=~\delta^{\mu}_{\nu}~\delta^3({\bf x}-{\bf y}),\tag{F}$ und alle anderen verschwinden.
Eine sekundäre Einschränkung
$\begin{matrix} (G) & χ^{2} := M^{2} ϕ^{0} - ϕ_{, ich ich}^{0} - π_{ich, ich} \approx 0 \end{matrix}$ $\chi^2~:=~ m^2\phi^0 - \phi^0_{,ii} - \pi_{i,i}~\approx~0\tag{G}$ entsteht weil $\{\chi^1,H\}_{PB}$ ist nicht proportional zu $\chi^1$ . Ohne eine sekundäre Einschränkung würde die Zeitentwicklung die primäre Einschränkung (D) verletzen. Man kann prüfen, ob keine tertiäre Beschränkung auftritt.
Die Poisson-Klammer zwischen den beiden Einschränkungen lautet
$\begin{matrix} (H) & {χ^{2} (X), χ^{1} (j)}_{P B} = M^{2} δ^{3} (X - j) . \end{matrix}$ $\{\chi^2({\bf x}),\chi^1({\bf y})\}_{PB} ~=~m^2\delta^3({\bf x}-{\bf y}).\tag{H}$ Mit anderen Worten, die beiden Einschränkungen sind erste (zweite) Klasse, wenn $m^2=0$ ( $m^2\neq 0$ ), bzw.
Erstklassige Beschränkungen erzeugen Spursymmetrie.
Für Beschränkungen zweiter Klasse die Dirac-Klammer
${ϕ^{0} (X), π_{0} (j)}_{D B} = \frac{\partial_{ich} \partial_{ich}}{M^{2}} δ^{3} (X - j),$ $\{\phi^0({\bf x}), \pi_0({\bf y})\}_{DB}~=~\frac{\partial_i\partial_i}{m^2}\delta^3({\bf x}-{\bf y}),$ ${ϕ^{ich} (X), π_{J} (j)}_{D B} = (δ_{J}^{ich} - \frac{\partial_{ich} \partial_{J}}{M^{2}}) δ^{3} (X - j),$ $\{\phi^i({\bf x}), \pi_j({\bf y})\}_{DB}~=~\left(\delta^i_j-\frac{\partial_i\partial_j}{m^2}\right)\delta^3({\bf x}-{\bf y}),$ $\begin{matrix} (ICH) & {ϕ^{0} (X), ϕ^{ich} (j)}_{D B} = - \frac{\partial_{ich}}{M^{2}} δ^{3} (X - j), usw, \end{matrix}$ $\{\phi^0({\bf x}), \phi^i({\bf y})\}_{DB}~=~-\frac{\partial_i}{m^2}\delta^3({\bf x}-{\bf y}),\qquad \text{etc},\tag{I}$ ist notwendig.

Um ehrlich zu sein, habe ich das Dirac-Buch und das andere durchgelesen, und mir ist nicht klar, was getan werden muss, außer den Einschränkungsterm zu den Hamilton-Gleichungen hinzuzufügen.
Also (nach dem Dirac-Buch) wäre die sekundäre Einschränkung $\{\chi,H \}_{PB}+\lambda\{\chi,\chi \}_{PB}=0$ . Ist das korrekt? Wie findet man $\lambda$ ?

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