Was macht eine Gleichung zu einer „Bewegungsgleichung“?

Eine Bewegungsgleichung ist ein (System von) Gleichung für die grundlegenden Observablen eines Systems, das eine Zeitableitung beinhaltet, für die ein Anfangswertproblem gut gestellt ist.

Daher ist eine Kontinuitätsgleichung normalerweise keine Bewegungsgleichung, obwohl sie Teil einer solchen sein kann, wenn Ströme Grundfelder sind.

Im Allgemeinen ist eine dynamische Bewegungsgleichung oder Evolutionsgleichung eine (hyperbolische) zeitliche Differentialgleichung zweiter Ordnung. Sie bestimmen die Evolution des Systems.

$\partial_{\mu}F^{i\mu}$ist eine dynamische Gleichung.

Eine Nebenbedingung ist jedoch eine Bedingung, die zu jedem Zeitpunkt verifiziert werden muss, und insbesondere müssen die Anfangsbedingungen die Nebenbedingungen verifizieren. Da Bewegungsgleichungen zeitlich von der Ordnung zwei sind, müssen die Beschränkungen höchstens von der Ordnung eins sein.

Das Gaußsche Gesetz$\partial_{\mu}F^{0\mu}$ist eine Einschränkung, da es nur um eine erste zeitliche Ableitung im Konfigurationsraum geht, dh wann$\bf E$es wird als Funktion von ausgedrückt$A_0$und$\bf A$. Darüber hinaus ist das Gaußsche Gesetz der Generator von Eichtransformationen. In der Quantentheorie sind nur Zustände, die durch das Gaußsche Gesetz vernichtet werden, physikalische Zustände.

Sowohl dynamische Gleichungen als auch Beschränkungen können als Bewegungsgleichungen oder Euler-Lagrange-Gleichungen eines gegebenen Aktionsfunktionals bezeichnet werden. Oder man kann den Begriff Bewegungsgleichung für dynamische Gleichungen beibehalten. Es ist eine Frage der Semantik. Die wichtige Unterscheidung besteht zwischen Beschränkungen und Evolutionsgleichungen.

Erhaltungssätze folgen hauptsächlich aus Symmetrien und aus dem Satz von Noether. Oft, aber nicht immer, folgen Bewegungsgleichungen aus Erhaltungssätzen. Ob man eine für grundlegender hält, ist eine Frage des persönlichen Geschmacks.

Die Dirac-Gleichung bezieht sich auf mehrere Komponenten eines Dirac-Spinors. Jede Komponente verifiziert die Klein-Gordon-Gleichung, die eine Evolutionsgleichung zweiter Ordnung ist.

OP schrieb (v2):

Was macht eine Gleichung zu einer „Bewegungsgleichung“?

Wie David Zaslavsky in einem Kommentar ganz allgemein erwähnt, gibt es keine genaue Definition. Bewegungsgleichungen sind grob gesagt Evolutionsgleichungen , mit denen das zukünftige (und vergangene) Verhalten der dynamischen Variablen bestimmt werden kann.

Wenn jedoch eine Theorie ein Wirkungsprinzip hat , dann gibt es einen Präzedenzfall innerhalb der Physikgemeinschaft, siehe z. 1. Dann werden traditionell nur die Euler-Lagrange-Gleichungen als „Bewegungsgleichungen“ bezeichnet, unabhängig davon, ob sie dynamische Gleichungen (dh Zeitableitungen enthalten) oder Zwangsbedingungen (dh keine Zeitableitungen enthalten) sind oder nicht.

Verweise:

1. M. Henneaux und C. Teitelboim, Quantisierung von Eichsystemen, 1994.

In der Feldtheorie besagt ein Erhaltungssatz nur, dass eine bestimmte Menge erhalten bleibt: Wenn$\partial_\mu \, \star = 0$wo$\star$ein Vektor oder ein Tensor ist, können Sie eine erhaltene Ladung usw. assoziieren - Sie kennen das Spiel, denke ich.

Einschränkungen sind etwas, das Sie von Hand (oder durch Experimente) auferlegen.

Schließlich sind Bewegungsgleichungen dynamische Gleichungen, die aus der Euler-Lagrange-Gleichung folgen. Sowohl die Dirac-Gleichung als auch$\partial^\mu F_{\mu \nu} = 0$dieses Kriterium erfüllen. [Allerdings, wenn Sie ein Messgerät wählen, wird es viel deutlicher, dass Sie es mit einem PDE für das Feld zu tun haben$A_\mu$, wie zum Beispiel$\square A_\mu = 0.$] Beachten Sie auch, dass beide beteiligt sind$\partial_t$oder$\partial_t^2$. Beachten Sie, dass$\nabla \cdot \mathbf{E}$beinhaltet nur räumliche Ableitungen, gibt also keine Dynamik.

In deinem Beispiel$\partial^\mu j_\mu = 0$ist ein klassisches Erhaltungsgesetz, das nicht beschreibt, wie sich eine mikroskopische Größe mit der Zeit entwickelt – Sie leiten es nicht von Euler-Lagrange ab.