Kann ich den Hamiltonoperator HHH in der Standardform pq˙−Lpq˙−Lp\dot{q}-L für eine allgemeine QFT schreiben?

Question

Kann ich den Hamiltonoperator HHH in der Standardform pq˙−Lpq˙−Lp\dot{q}-L für eine allgemeine QFT schreiben?

Mauro Giliberti

Ich habe einige Fragen (und den Wikipedia-Artikel ) über die Hamilton-Formulierung einer QFT gelesen, aber das einzige Beispiel, das angesprochen zu werden scheint, ist der Skalarfall, der das sagt

H_{S} = Π \partial_{0} ϕ - L_{S} .

$\mathcal{H}_S=\Pi\partial_0\phi-\mathcal{L}_S.$ Kann ich den Hamiltonoperator für eine allgemeine Theorie auf die gleiche Weise schreiben? Ist beispielsweise für die Yang-Mills-Theorie Folgendes wahr?

H_{Y M} = π_{μ}^{A} \partial_{0} W^{A μ} - L_{Y M} .

$\mathcal{H}_{YM}=\pi_\mu^a\partial_0W^{a\mu}-\mathcal{L}_{YM}.$ Was ist für eine Wechselwirkungstheorie wie Yang-Mills gekoppelt mit einem Skalar, kann ich wie folgt schreiben?

H = π_{μ}^{A} \partial_{0} W^{A μ} + Π \partial_{0} ϕ - L .

$\mathcal{H}=\pi_\mu^a\partial_0W^{a\mu}+\Pi\partial_0\phi-\mathcal{L}.$

Ich verstehe nicht, warum nicht, schließlich sollten die beiden Funktionen für all diese Theorien existieren, und ich kann mir keinen anderen Weg vorstellen, den Hamilton-Operator zu finden, der den Lagrange-Operator kennt.

JG

Eine Feinheit ist, wenn Sie Fermionen einbeziehen, die Sie benötigen

\dot{q} p

$\dot{q}p$ Begriffe statt

p \dot{q}

$p\dot{q}$ Begriffe (Bosonen sind so oder so egal). Sie erhalten dann Bewegungsgleichungen aus dem Lagrange-Operator mit Linksableitungen oder dem Hamilton-Operator mit Rechtsableitungen.

Zack

@JG Ich verstehe deinen Kommentar nicht. Wenn ich mir den Dirac Lagrangian ansehe

L = \bar{ψ} (i γ^{μ} \partial_{μ} - m) ψ

$\mathcal{L} = \bar{\psi} (i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m) \psi$ , der konjugierte Impuls zu

ψ

$\psi$ Ist

π = i ψ^{†}

$\pi = i \psi^{\dagger}$ , und Rechnen

π \partial_{0} ψ - L

$\pi \partial_0 \psi - \mathcal{L}$ gibt den korrekten Dirac-Hamilton-Operator. Hängt Ihr Punkt irgendwie mit der Behandlung der Elemente Ihrer Lagrange-Funktion als Grassmann-Variablen zusammen?

JG

@Zack Ja, ich hatte Grassmann-Variablen im Sinn.

d_b

Im Allgemeinen hat ein QFT möglicherweise nicht einmal einen Lagrangian. Ich nehme an, Sie meinten QFTs mit einer Lagrange-Beschreibung, aber seien Sie sich bewusst, dass die Antwort auf die gestellte Frage ein triviales „Nein“ ist.

Connor Behan

Jeder hier erwähnte QFT für einen: arxiv.org/abs/1802.09626

Antworten (1)

Kann ich den Hamiltonoperator HHH in der Standardform pq˙−Lpq˙−Lp\dot{q}-L für eine allgemeine QFT schreiben?

Eine Feinheit ist, wenn Sie Fermionen einbeziehen, die Sie benötigen $\dot{q}p$ Begriffe statt $p\dot{q}$ Begriffe (Bosonen sind so oder so egal). Sie erhalten dann Bewegungsgleichungen aus dem Lagrange-Operator mit Linksableitungen oder dem Hamilton-Operator mit Rechtsableitungen.
@JG Ich verstehe deinen Kommentar nicht. Wenn ich mir den Dirac Lagrangian ansehe $\mathcal{L} = \bar{\psi} (i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m) \psi$ , der konjugierte Impuls zu $\psi$ Ist $\pi = i \psi^{\dagger}$ , und Rechnen $\pi \partial_0 \psi - \mathcal{L}$ gibt den korrekten Dirac-Hamilton-Operator. Hängt Ihr Punkt irgendwie mit der Behandlung der Elemente Ihrer Lagrange-Funktion als Grassmann-Variablen zusammen?
Im Allgemeinen hat ein QFT möglicherweise nicht einmal einen Lagrangian. Ich nehme an, Sie meinten QFTs mit einer Lagrange-Beschreibung, aber seien Sie sich bewusst, dass die Antwort auf die gestellte Frage ein triviales „Nein“ ist.
Jeder hier erwähnte QFT für einen: arxiv.org/abs/1802.09626

QMechaniker · Answer 1

Im Allgemeinen die Legendre-Transformation $^1$ von der Lagrange- zur Hamilton-Formulierung kann singulär sein, was zu primären Einschränkungen führt . Dies ist zB bei Eichtheorien wie der Yang-Mills (YM)-Theorie mit oder ohne Materie der Fall, die OP erwähnt.

Im Falle einer singulären Legendre-Transformation ist es jedoch im Prinzip immer noch möglich, durch eine sogenannte Dirac-Bergmann-Analyse (die zu sekundären Nebenbedingungen führen kann) eine entsprechende Hamilton-Formulierung zu definieren. Typischerweise der kanonische Hamiltonoperator $H_0=p\dot{q}-L$ wird mit Termen der Form 'Einschränkung mal Lagrange-Multiplikator' ergänzt. Für Details siehe z. B. Refs. 1 & 2.

Verweise:

PAM Dirac, Vorlesungen über QM, 1964.
M. Henneaux & C. Teitelboim, Quantisierung von Eichsystemen, 1994.

--

$^1$ Zu Fermionen siehe zB diesen Phys.SE-Beitrag.

Also kann ich die zweite und dritte Gleichung, die ich geschrieben habe, nicht verwenden, richtig?
Erwähnenswert ist vielleicht, dass dies nichts damit zu tun hat, dass die Theorie Quantentheorie ist, sondern dass dieses Thema bereits klassisch existiert.

Kann ich den Hamiltonoperator HHH in der Standardform pq˙−Lpq˙−Lp\dot{q}-L für eine allgemeine QFT schreiben?

Mauro Giliberti

JG

Zack

JG

d_b

Connor Behan

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