Primäre Nebenbedingungen für erzwungene Hamiltonsche Systeme

Question

Primäre Nebenbedingungen für erzwungene Hamiltonsche Systeme

Benutzer22208

Ich wäre Ihnen sehr dankbar, wenn Sie mir helfen könnten, die Einstellung der primären Einschränkungen für beschränkte Hamilton-Systeme zu klären. Ich lese Classical and Quantum Dynamics of Constrained Hamiltonian Systems von H. Rothe und K. Rothe und Quantization of gauge system von Henneaux und Teitelboim.

Betrachten Sie ein System mit Lagrange $L(q,\dot{q})$ und definiere die Impulse $p_j = \partial L/\partial{\dot{q}_j}$ , mit $j$ von 1 bis $n$ (für $n$ Freiheitsgrade) und die hessische $W_{ij}(q,\dot{q}) = \partial^2 L/\partial{\dot{q}_i}\partial{\dot{q}_j}$ . Lassen $R_W$ sei der Rang des Hessen $W_{ij}$ .

Annehmen, dass $L$ ist singulär und $R_W < n$ . Um die Frage zu stellen, zitiere ich jetzt, wie die Rothes auf den Seiten 26 und 27 ihres Buches die Einstellung der primären Beschränkungen beschreiben.

Lassen $W_{ab}$ , ( $a,b = 1,...,R_W$ ) sei die größte invertierbare Teilmatrix von $W_{ij}$ , wo eine geeignete Umordnung der Komponenten durchgeführt wurde. Wir können dann die Gleichungen lösen.
$\begin{matrix} (1) & P_{J} = \partial L (Q, \dot{Q}) / \partial {\dot{Q}}_{J} \end{matrix}$ $p_j = \partial L(q,\dot{q})/\partial{\dot{q}_j} \tag{1}$ für $R_W$ Geschwindigkeiten $\dot{q}_a$ in Bezug auf die Koordinaten $q_i$ , die Momente $\{p_a\}$ und die restlichen Geschwindigkeiten $\{\dot{q}_\alpha\}$ : $\dot{q}_a = f_a(q,\{p_b\},\{\dot{q}_\beta\})$ , mit $a,b = 1,...,R_W$ Und $\beta = R_W + 1,...,n$ .

Einfügen dieses Ausdrucks in die Definition von $p_j$ , kommt man zu einer Relation der Form $p_j = h_j(q,\{p_a\},\{\dot{q}_\alpha\})$ . Für $j = a$ ( $a = 1,...,R_W$ ) muss sich diese Beziehung auf eine Identität reduzieren. Die restlichen Gleichungen lauten $p_\alpha = h_\alpha (q,\{p_a\},\{\dot{q}_\beta\})$ . Aber die rechte Seite kann nicht von den Geschwindigkeiten abhängen $\dot{q}_\beta$ , da wir sonst mehr Geschwindigkeiten aus der Menge ausdrücken könnten $\{\dot{q}_\alpha\}$ in Bezug auf die Koordinaten, die Impulse und die verbleibenden Geschwindigkeiten.

Hier hört der Vortrag von Rothe auf, und mir geht es um Gleichungen der Form

\begin{matrix} (2) & P_{a} = H_{a} (Q, {P_{A}}, {{\dot{Q}}_{β}}) \end{matrix}

$p_\alpha = h_\alpha (q, \{p_a\},\{\dot{q}_\beta\})\tag{2}$ mit allen

{{\dot{q}}_{β}}

$\{\dot{q}_\beta\}$ Gegenwart kann immer noch möglich sein, und doch kann man nicht nach mehr Geschwindigkeiten aus der Menge auflösen

{{\dot{q}}_{α}}

$\{\dot{q}_\alpha\}$ in Bezug auf die Koordinaten, die Impulse und die verbleibenden Geschwindigkeiten, wenn die im Satz über implizite Funktionen festgelegten Bedingungen nicht erfüllt sind, da nicht alle Gleichungen vom Typ (2) implizit gelöst werden können nach

{{\dot{q}}_{α}}

$\{\dot{q}_\alpha\}$ . Es ist also nicht bewiesen, dass es sie gibt

(n - R_{W})

$(n - R_W)$ Hauptbeschränkungen des Formulars

ϕ_{α} (q, p) = 0

$\phi_\alpha (q,p) = 0$ .

Henneaux und Teteilboim geben sogar an, dass diese $(n - R_W)$ Einschränkungen des Formulars $\phi_\alpha (q,p) = 0$ sind funktional unabhängig, begründen diese Aussage aber nicht.

Ich wäre Ihnen sehr dankbar, wenn Sie mir helfen könnten, meine obige Sorge zu klären, und auch, wenn Sie die Aussage von Henneaux und Teitelboin hinsichtlich der Tatsache, dass die Einschränkungen funktional unabhängig sind, klarstellen könnten.

QMechaniker

Siehe auch: physical.stackexchange.com/q/30192/2451

Antworten (2)

Primäre Nebenbedingungen für erzwungene Hamiltonsche Systeme

QMechaniker · Answer 1

I) Lassen Sie uns die Positionsabhängigkeit unterdrücken $q^i$ und explizite Zeitabhängigkeit $t$ im Folgenden, und nehmen Sie auch an, dass die Lagrangian $L=L(v)$ ist eine glatte Funktion der Geschwindigkeiten $v^i$ , Wo $i=1, \ldots, n$ . Die hessische Matrix ist definiert als

\begin{matrix} (1) & H_{ich J} := \frac{\partial^{2} L}{\partial v^{ich} \partial v^{J}} . \end{matrix}

$H_{ij}~:=~\frac{\partial^2 L}{\partial v^i \partial v^j}.\tag{1}$

Betrachten wir eine offene Nachbarschaft $^1$ $V$ um einen Fixpunkt $v_{(0)}$ . Eine sehr wichtige Annahme ist nun die sogenannte Regularitätsbedingung, vgl. Ref. 1 und 2. Dies bedeutet, dass der Rang des Hessen $H_{ij}$ sollte nicht vom Punkt abhängen $v$ . Mit anderen Worten, der Hessische $H_{ij}$ sollte einen konstanten Rang haben $r$ . (Ref. 3 nimmt diesen entscheidenden Punkt implizit an, ohne seine Bedeutung zu betonen.)

Wir permutieren/umbenennen jetzt die Geschwindigkeiten $(v^1,\ldots, v^n)$ so dass die $r\times r$ unerheblich $A_{ab}$ ist in der linken oberen Ecke des Hessischen umkehrbar

\begin{matrix} (2) & H = [\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}] = \underset{umkehrbar}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} 1 & 0 \\ C A^{- 1} & 1 \end{matrix}]}} [\begin{matrix} A & 0 \\ 0 & D - C A^{- 1} B \end{matrix}] \underset{umkehrbar}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} 1 & A^{- 1} B \\ 0 & 1 \end{matrix}]}} . \end{matrix}

$H~=~ \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} ~=~ \underbrace{\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ CA^{-1} & 1 \end{bmatrix}}_{\text{invertible}} \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & D-CA^{-1}B \end{bmatrix} \underbrace{\begin{bmatrix} 1 & A^{-1}B \\ 0 & 1 \end{bmatrix}}_{\text{invertible}}. \tag{2}$

Es wird davon ausgegangen, dass die Umbenennung in der gesamten Nachbarschaft auf die gleiche Weise erfolgt $V$ . Dies geschieht möglicherweise, indem Sie in eine kleinere offene Nachbarschaft gehen (die wir auch nennen $V$ ) Falls benötigt. (Später, wenn wir den Umkehrfunktionssatz unten anwenden, müssen wir möglicherweise implizit einschränken $V$ weiter.) Aus der konstanten Rangbedingung folgt, dass

\begin{matrix} (3) & D = C A^{- 1} B . \end{matrix}

$D~=~CA^{-1}B. \tag{3}$

II) Als nächstes führen wir die singuläre Legendre-Transformation durch $v\leadsto p$ . Funktionen definieren

\begin{matrix} (4) & G_{ich} (v) := \frac{\partial L (v)}{\partial v^{ich}}, ich = 1, \dots, N . \end{matrix}

$g_i(v)~:=~\frac{\partial L(v)}{\partial v^i}, \qquad i=1, \ldots, n. \tag{4}$

Die Impulse sind in der Lagrange-Theorie definiert als

\begin{matrix} (5) & P_{ich} := G_{ich} (v), ich = 1, \dots, N . \end{matrix}

$p_i~:=~g_i(v), \qquad i=1, \ldots, n. \tag{5}$

Die Geschwindigkeiten

\begin{matrix} (6) & v^{ich} ⟶ (u^{A}, w^{a}) \end{matrix}

$v^i~\longrightarrow~ (u^a,w^{\alpha}) \tag{6}$

in zwei Sätze von Geschwindigkeitskoordinaten aufgeteilt

\begin{matrix} (7) & u^{A}, A = 1, \dots, R, Und w^{a}, a = 1, \dots, N - R, \end{matrix}

$u^a, \quad a=1, \ldots, r, \qquad\text{and}\qquad w^{\alpha}, \quad \alpha=1, \ldots, n-r, \tag{7}$

die wir primär ausdrückbare (nicht ausdrückbare) Geschwindigkeiten nennen werden . Ebenso die Impulse

\begin{matrix} (8) & P_{ich} ⟶ (π_{A}, ρ_{a}) \end{matrix}

$p_i~\longrightarrow~ (\pi_a,\rho_{\alpha}) \tag{8}$

in zwei Sätze von Impulskoordinaten aufgeteilt

\begin{matrix} (9) & π_{A}, A = 1, \dots, R, Und ρ_{a}, a = 1, \dots, N - R . \end{matrix}

$\pi_a, \quad a=1, \ldots, r, \qquad\text{and}\qquad \rho_{\alpha}, \quad \alpha=1, \ldots, n-r. \tag{9}$

Die primären ausdrückbaren Geschwindigkeiten

\begin{matrix} (10) & u^{A} = F^{A} (π, w), A = 1, \dots, R . \end{matrix}

$u^a~=f^a(\pi,w), \qquad a=1, \ldots, r. \tag{10}$

werden aus der extrahiert $r$ ersten Impulsbeziehungen (5) über den Umkehrfunktionssatz mit dem $w$ -Variablen als passive Zuschauerparameter.

III) Als nächstes definieren Sie zusammengesetzte Funktionen

\begin{matrix} (11) & H_{ich} (π, w) := G_{ich} (F (π, w), w), ich = 1, \dots, N . \end{matrix}

$h_i(\pi,w) ~:=~ g_i(f(\pi,w),w), \qquad i=1, \ldots, n. \tag{11}$

Daraus folgt sofort

\begin{matrix} (12) & H_{A} (π, w) = π_{A}, A = 1, \dots, R . \end{matrix}

$h_a(\pi,w) ~=~ \pi_a, \qquad a=1, \ldots, r. \tag{12}$

weil die funktionen $g$ Und $f$ sind zueinander invers für fest $w$ . Differenzierung von (12) bzgl. $w^{\alpha}$ führt zu

\begin{matrix} (13) & \begin{aligned} 0 = & \frac{\partial H_{A} (π, w)}{\partial w^{a}} \\ \overset{(11)}{=} & {\frac{\partial G_{A} (u, w)}{\partial w^{a}} |}_{u = F (π, w)} + {\frac{\partial G_{A} (u, w)}{\partial u^{B}} |}_{u = F (π, w)} \frac{\partial F^{B} (π, w)}{\partial w^{a}} \\ \overset{(1) + (2) + (4)}{=} & {B_{A a} |}_{u = F (π, w)} + {A_{A B} |}_{u = F (π, w)} \frac{\partial F^{B} (π, w)}{\partial w^{a}} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} 0~=~&\frac{\partial h_a(\pi,w)}{\partial w^{\alpha}} \cr ~\stackrel{(11)}{=}~&\left.\frac{\partial g_a(u,w)}{\partial w^{\alpha}}\right|_{u=f(\pi,w)} +\left. \frac{\partial g_a(u,w)}{\partial u^b} \right|_{u=f(\pi,w)} \frac{\partial f^b(\pi,w)}{\partial w^{\alpha}} \cr ~\stackrel{(1)+(2)+(4)}{=}&\left.B_{a\alpha}\right|_{u=f(\pi,w)} +\left. A_{ab} \right|_{u=f(\pi,w)} \frac{\partial f^b(\pi,w)}{\partial w^{\alpha}} . \end{align}\tag{13}$

Satz 1. Die $h_i$ -Funktionen (11) hängen nicht von der ab $w$ -Variablen.

Beweis von Satz 1:

\begin{matrix} (14) & \begin{aligned} \frac{\partial H_{a} (π, w)}{\partial w^{β}} \overset{(11)}{=} & {\frac{\partial G_{a} (u, w)}{\partial w^{β}} |}_{u = F (π, w)} + {\frac{\partial G_{a} (u, w)}{\partial u^{A}} |}_{u = F (π, w)} \frac{\partial F^{A} (π, w)}{\partial w^{β}} \\ \overset{(1) + (2) + (4)}{=} & {D_{a β} |}_{u = F (π, w)} + {C_{a A} |}_{u = F (π, w)} \frac{\partial F^{A} (π, w)}{\partial w^{β}} \\ \overset{(13)}{=} & {(D_{a β} - C_{a A} (A^{- 1})^{A B} B_{B β}) |}_{u = F (π, w)} \\ \overset{(3)}{=} & 0. \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \frac{\partial h_{\alpha}(\pi,w)}{\partial w^{\beta}} ~\stackrel{(11)}{=}~&\left.\frac{\partial g_{\alpha}(u,w)}{\partial w^{\beta}}\right|_{u=f(\pi,w)} +\left. \frac{\partial g_{\alpha}(u,w)}{\partial u^a} \right|_{u=f(\pi,w)} \frac{\partial f^a(\pi,w)}{\partial w^{\beta}} \cr ~\stackrel{(1)+(2)+(4)}{=}&\left.D_{\alpha\beta}\right|_{u=f(\pi,w)}+\left. C_{\alpha a} \right|_{u=f(\pi,w)} \frac{\partial f^a(\pi,w)}{\partial w^{\beta}} \cr ~\stackrel{(13)}{=}~&\left. \left(D_{\alpha\beta}-C_{\alpha a}(A^{-1})^{ab}B_{b\beta} \right)\right|_{u=f(\pi,w)}\cr ~\stackrel{(3)}{=}~&0.\end{align}\tag{14}$

Ende des Beweises. Der $n-r$ letzte Impulsbeziehungen (5) werden nun $n-r$ funktional unabhängige primäre Nebenbedingungen

\begin{matrix} (15) & ϕ_{a} (π, ρ) := ρ_{a} - H_{a} (π) \approx 0, \end{matrix}

$\phi_{\alpha}(\pi,\rho)~:=~\rho_{\alpha}- h_{\alpha}(\pi)~\approx~0,\tag{15}$

bei dem die $\approx$ Symbol bedeutet Gleichheits-Modulo-Einschränkungen. Die primären Einschränkungen (15) sind eindeutig funktional unabhängig, da jede von ihnen von anderen abhängt $\rho$ Momente.

IV) Die Lagrange-Energiefunktion ist definiert als

\begin{matrix} (16) & H (v) \overset{(4)}{:=} G_{ich} (v) v^{ich} - L (v) . \end{matrix}

$h(v)~\stackrel{(4)}{:=}~g_i(v) v^i -L(v).\tag{16}$

Definieren Sie den Hamiltonoperator als zusammengesetzte Funktion

\begin{matrix} (17) & \begin{aligned} H (π, w) := & H (F (π, w), w) \\ \overset{(10) + (11) + (16)}{=} & H_{A} (π) F^{A} (π, w) + H_{a} (π) w^{a} - L (F (π, w), w) . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} H(\pi,w)~:=~&h(f(\pi,w),w)~\cr \stackrel{(10)+(11)+(16)}{=}&h_a(\pi) f^a(\pi,w) +h_{\alpha}(\pi) w^{\alpha} - L(f(\pi,w),w).\end{align}\tag{17}$

Satz 2. Der Hamiltonoperator (17) hängt nicht von ab $w$ -Variablen.

Beweis von Satz 2:

\begin{matrix} (18) & \begin{aligned} \frac{\partial H}{\partial w^{a}} \overset{(17)}{=} & (H_{A} (π) - {\frac{\partial L (u, w)}{\partial u^{A}} |}_{u = F (π, w)}) \frac{\partial F^{A} (π, w)}{\partial w^{a}} + H_{a} (π) - {\frac{\partial L (u, w)}{\partial w^{a}} |}_{u = F (π, w)} \\ \overset{(4) + (11)}{=} 0. \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \frac{\partial H}{\partial w^{\alpha}} ~\stackrel{(17)}{=}~&\left(h_a(\pi) -\left. \frac{\partial L(u,w)}{\partial u^a} \right|_{u=f(\pi,w)} \right) \frac{\partial f^a(\pi,w)}{\partial w^{\alpha}} + h_{\alpha}(\pi) -\left. \frac{\partial L(u,w)}{\partial w^{\alpha}} \right|_{u=f(\pi,w)} \cr ~\stackrel{(4)+(11)}{=}~0.\end{align} \tag{18}$

Ende des Beweises.

V) Beispiel mit $n=2$ Und $r=1$ . Lass den Lagrange sein

\begin{matrix} (19) & L = \frac{1}{2} \frac{u^{2}}{1 - w} = \frac{u^{2}}{2} \sum_{N = 0}^{\infty} w^{N}, | w | < 1. \end{matrix}

$L ~=~\frac{1}{2}\frac{u^2}{1-w}~=~\frac{u^2}{2}\sum_{n=0}^{\infty}w^n, \qquad |w|~<~1. \tag{19}$

Der Hesse

\begin{matrix} (20) & H_{ich J} = [\begin{matrix} \frac{1}{1 - w} & \frac{u}{(1 - w)^{2}} \\ \frac{u}{(1 - w)^{2}} & \frac{u^{2}}{(1 - w)^{3}} \end{matrix}] \end{matrix}

$H_{ij}~=~\begin{bmatrix} \frac{1}{1-w} & \frac{u}{(1-w)^2} \\ \frac{u}{(1-w)^2} & \frac{u^2}{(1-w)^3}\end{bmatrix} \tag{20}$

hat zwei Eigenwerte $\frac{1}{1-w}+ \frac{u^2}{(1-w)^3}>0$ Und $0$ , dh es hat konstanten Rang $r=1$ Wenn $|w|< 1$ .

Die erste Impulsbeziehung

\begin{matrix} (21) & π = \frac{\partial L}{\partial u} = \frac{u}{1 - w} \end{matrix}

$\pi~=~\frac{\partial L}{\partial u}~=~ \frac{u}{1-w} \tag{21}$

kann invertiert werden, um nachzugeben

\begin{matrix} (22) & u = (1 - w) π . \end{matrix}

$u~=~ (1-w)\pi. \tag{22}$

Die zweite Impulsbeziehung

\begin{matrix} (23) & ρ = \frac{\partial L}{\partial w} = \frac{u^{2}}{2 (1 - w)^{2}} = \frac{1}{2} π^{2} \end{matrix}

$\rho~=~\frac{\partial L}{\partial w}~=~ \frac{u^2}{2(1-w)^2} ~=~\frac{1}{2}\pi^2\tag{23}$

führt zu einer primären Einschränkung

\begin{matrix} (24) & ϕ := ρ - \frac{1}{2} π^{2} \approx 0. \end{matrix}

$\phi~:=~ \rho -\frac{1}{2}\pi^2~\approx~0. \tag{24}$

Der Hamiltonian (17) wird

\begin{matrix} (25) & H = π u + ρ w - L = \frac{1}{2} π^{2} . \end{matrix}

$H~=~ \pi u + \rho w -L~=~\frac{1}{2}\pi^2. \tag{25}$

Es ist leicht zu überprüfen, dass es keine sekundäre Einschränkung gibt. Ende des Beispiels.

Verweise:

M. Henneaux und C. Teitelboim, Quantisierung von Eichsystemen, (1994), p. 5-7.
DM Gitman und IV Tyutin, Quantisierung von Feldern mit Einschränkungen, (1990), p. 13-16.
H. Rothe und K. Rothe, Klassische und Quantendynamik beschränkter Hamilton-Systeme, (2010), p. 24-27.

--

$^1$ Wir werden nur lokal argumentieren, dh globale Probleme ignorieren.

Ich habe vor über einem Jahr fast dieselbe Frage hier gestellt , und seitdem habe ich sie im Hinterkopf. Vielen Dank, dass Sie das endlich für mich geklärt haben. Ich habe nur noch eine kleine Frage. Wie sind wir sicher, dass wir die Koordinaten lokal und nicht nur punktweise umbenennen können?
Wir gehen davon aus, dass der Rang des Hessen nicht springt.
Wenn man es sich noch einmal ansieht, scheint es klar zu sein. 1. Haben Sie sich bei dieser Antwort auf eine bestimmte Referenz bezogen oder haben Sie sich diese selbst ausgedacht? Ich frage, weil ich denke, dass ich die Darstellung dieser Referenz der von Rothe zu diesem Thema vorziehen würde. 2. Hat die Lagrange-Funktion in diesem Beitrag aus Neugier eine gewisse Bedeutung oder ist sie nur ein gutes Beispiel?
1. Ich habe den Beweis mehr oder weniger von Grund auf neu konstruiert. 2. Es war nur das einfachste Beispiel, das ich finden konnte.

Jia Yiyang · Answer 2

OP hat geschrieben

Hier hört der Vortrag von Rothe auf, und mir geht es um Gleichungen der Form $p_\alpha = h_\alpha (q, \{p_a\},\{\dot{q}_\beta\})$ (2) mit allem $\{\dot{q}_\beta\}$ Gegenwart kann immer noch möglich sein, und doch kann man nicht nach mehr Geschwindigkeiten aus der Menge auflösen $\{\dot{q}_\alpha\}$ in Bezug auf die Koordinaten, die Impulse und die verbleibenden Geschwindigkeiten, wenn die im Satz über implizite Funktionen festgelegten Bedingungen nicht erfüllt sind, da nicht alle Gleichungen vom Typ (2) implizit gelöst werden können nach $\{\dot{q}_\alpha\}$ . Es ist also nicht bewiesen, dass es sie gibt $(n - R_W)$ Hauptbeschränkungen des Formulars $\phi_\alpha (q,p) = 0$

Ich habe ein Missverständnis von Rothes Aussagen gespürt, ignorieren Sie mich, wenn ich OP nicht richtig verstehe:

Rothe argumentiert zumindest eines davon $\dot{q}_\beta$ 's kann als Funktion von ausgedrückt werden $p_a,p_\alpha$ und verbleiben $\dot{q}_\alpha$ 'S. Für irgendetwas Besonderes $\alpha$ in Ihrer Gleichung (2), durch implizites Funktionstheorem angewendet auf eine Variable ( $\dot{q}_\beta$ ) Funktion, es ist immer machbar, es sei denn $\frac{\partial h_\alpha}{\partial \dot{q}_\beta}=0$ für unsere Auserwählten $\alpha$ Und $\beta$ , aber der letztere Fall bedeutet einfach $h_\alpha$ hängt nicht davon ab $\dot{q}_\beta$ , also ist Rothes Aussage in jedem Fall richtig.

Aktualisierung:

Der Teil der funktionalen Unabhängigkeit ist, wenn ich mich nicht irre, ziemlich trivial. Das liegt daran, dass in Ihrer Gleichung (2) alle $p_\alpha$ 's sind auf LHS und RHS enthält keine $p_\alpha$ daher ist es unmöglich, eine Wechselbeziehung zwischen diesen Gleichungen zu finden (Plural in dem Sinne, dass $\alpha$ kann viele Werte annehmen, von $1$ Zu $M'$ ). Oder in der Sprache der Differentialrechnung werden die Beschränkungsfunktionen von (2) sein $\phi_\alpha(q,p)=p_\alpha-h_\alpha(q,\{p_a\})$ , also wird die Jacobi-Funktion dieser Funktionen einfach sein

$\frac{\partial \phi_\beta}{\partial \{p_\alpha,p_a, q\}}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots &0&\cdots&\frac{\partial h_1}{\partial p_a}&\cdots&\frac{\partial h_1}{\partial q_i}&\cdots\\ 0 & 1 & \cdots&0&\cdots&\frac{\partial h_2}{\partial p_a}&\cdots&\frac{\partial h_2}{\partial q_i}&\cdots\\ \vdots & \vdots & \ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 0 &0 &\cdots&1&\cdots&\frac{\partial h_{M'}}{\partial p_a}&\cdots&\frac{\partial h_{M'}}{\partial q_i}&\cdots\end{bmatrix}$

Und dieser Jacobi hat wegen der Identitäts-Submatrix auf der linken Seite den maximalen Rang, und das ist dasselbe, als würde man sagen, dass diese Constraint-Funktionen funktional unabhängig sind.

PS: Jetzt bin ich mir nicht ganz sicher, auf welche Situation sich H&T bezog, als sie sagten $M<M'$ .

Sie haben völlig recht, und Ihre Argumentation ist fehlerfrei. Vielen Dank! Können Sie bitte auch angeben, warum die (n - R_W)-Einschränkungen funktional unabhängig sind? Kannst du das beweisen? Danke!
Wo haben Henneaux und Teteilboim das gesagt? Ich habe tatsächlich eine gegenteilige Aussage auf Seite 5 gelesen, irgendwo unter Gleichung (1.6)
Auf Seite 5 schreibt HT: „Wenn der Rang von $\partial^2 L/\partial{\dot{q}_n}\partial{\dot{q}_{n^\prime}}$ ist gleich $N - M^\prime$ es gibt $M^\prime$ unabhängige Gleichungen unter (1.6)." In unserem Fall ist der Rang des Hesses $R_W$ und das sollte es geben $(n - R_W)$ funktional unabhängige Einschränkungen, aber ich weiß nicht, wie ich das zeigen soll.
Aber sie sagten, dass M' streng kleiner als M sein kann. Mit anderen Worten, M' kann streng kleiner als n-R_w in Rothes Notation sein.
In Rothes Notation $R_W = N - M^\prime$ Und $n = N$ . Deshalb $n - R_W = N - (N - M^{\prime}) = M^{\prime}.$
Von wo Sie schließen $R_W=N-M'$ in Rothes Notation? Ich finde $R_W=N-M$ in Rothes Notation.
Das habe ich geschlussfolgert $R_W = N - M^\prime$ weil Rothe das sagt $R_W$ ist der Rang des Hessen $\partial^2 L/\partial{\dot{q}_i}\partial{\dot{q}_j}$ in Rothes Notation und auch HT sagen das in ihrem Buch auf Seite 5 $(N - M^\prime)$ ist der Rang des Hessen $\partial^2 L/\partial{\dot{q}_n}\partial{\dot{q}_{n^\prime}}$ in HT-Notation. Ich habe nur die Reihen der Hessen in den beiden Büchern gleichgesetzt, nämlich konsequent $R_W = N - M^\prime$ . Ich habe auch die Anzahl der Freiheitsgrade gleichgesetzt $n = N$ .
Ja, jetzt stimme ich Ihnen zu, ich werde meine Antwort aktualisieren.
Vielen Dank für die Aktualisierung! Ihre Argumentation ist wieder einwandfrei! Mein Verständnis der Aussage in HT, die es geben kann $M$ Einschränkungen mit $M > M^\prime$ ist, dass man so viele Einschränkungen aufschreiben kann, wie man will, nämlich $M$ , ausgehend von der $M^\prime$ funktional unabhängige. Ich würde es sehr schätzen, wenn Sie mir ein gutes Buch über fortgeschrittene Analysis auf Englisch empfehlen könnten, in dem das Thema der funktionalen Unabhängigkeit von m Funktionen von n Variablen ausführlich behandelt wird. Danke schön!
Anscheinend reicht jedes anständige Lehrbuch für multivariable Kalküle aus, und ich habe kein bestimmtes im Sinn, da ich für die funktionale Unabhängigkeit die Definition gegoogelt habe, bevor ich auf Ihre Definition geantwortet habe.

Primäre Nebenbedingungen für erzwungene Hamiltonsche Systeme

Benutzer22208

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Jia Yiyang

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