Was ist die genaue Beziehung zwischen einer nicht invertierbaren hessischen Matrix für die Lagrange-Funktion und dem Vorhandensein einer Eichsymmetrie?

Diese Bedingungen sind nicht äquivalent, nur unter mehreren Annahmen. Eine gute Referenz sind die Kapitel 1 und 3 von Henneaux' und Teitelboims "Quantisierung von Eichsystemen" .

1. Die "richtige" Definition einer Eichtheorie, die sich weder auf einen Hamilton- noch auf einen Lagrange-Formalismus stützt, ist explizit, dass die Lösungen$q(t)$zu den Bewegungsgleichungen enthalten einige willkürliche Zeitfunktionen, sind also nicht eindeutig durch die Anfangsbedingungen bestimmt. Dies ist die Hauptursache für die Vorstellung, dass "Messfreiheitsgrade redundant sind".

2. Im Lagrange-Formalismus sind die Bewegungsgleichungen die Euler-Lagrange-Gleichungen:

   $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} - \frac{\partial L}{\partial q^i} = \ddot{q}^j \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^j \partial \dot{q}^i} + \dot{q}^j \frac{\partial L}{\partial q^j\partial \dot{q}^i} - \frac{\partial L}{\partial q^i} = 0 \tag{1}$$ was nachgibt $$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^j \partial \dot{q}^i} \ddot{q}^j = - \dot{q}^j \frac{\partial L}{\partial q^j\partial \dot{q}^i} + \frac{\partial L}{\partial q^i}\tag{2},$$ zeigt, dass die Beschleunigungen$\ddot{q}^j$werden genau dann durch die Geschwindigkeiten und Positionen bestimmt, wenn die Matrix$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^j \partial \dot{q}^i}$ist nicht entartet. Deshalb die Bedingung $$\det\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^j \partial \dot{q}^i} \right) = 0\tag{3}$$ ist die relevante Bedingung für eine Lagrangesche Eichtheorie. Beachten Sie, dass wir bisher den Begriff einer "Eichtransformation" überhaupt nicht verwendet haben.

3. Beim Übergang zum Hamiltonschen Formalismus mit Impulsen$p_i$, Gl. (3) manifestiert sich als eine Reihe von Off-Shell-Beziehungen$\phi_k(q,p) = 0$unter den Impulsen, die als primäre Einschränkungen bezeichnet werden . Zu diesen müssen wir die sekundären Beschränkungen auf der Schale hinzufügen , die durch Auferlegen erhalten werden$\dot{\phi}_k = 0$. Wir bezeichnen diese auch mit$\phi_k$(und sie erzeugen möglicherweise wiederum tertiäre Einschränkungen usw.), da wir schließlich sowieso am On-Shell-Fall interessiert sein werden. Alle diese Einschränkungen fallen in zwei relevantere Klassen, die kreativ als erste Klasse und zweite Klasse bezeichnet werden:

   Eine erstklassige Einschränkung ist eine, die Poisson-kommutiert mit allen anderen Einschränkungen, dh$\{\phi_i,\phi_j\} = 0$für alle$j$. Wir bezeichnen diese als$\gamma_i$. Eine Einschränkung zweiter Klasse ist eine Einschränkung, bei der dies nicht der Fall ist. Wir bezeichnen diese als$\chi_i$.

4. Die Zwangsbedingungen erster Klasse erzeugen Eichtransformationen: Der totale Hamilton-Operator, dessen Bewegungsgleichungen äquivalent zu denen des entarteten Lagrange-Systems sind, kann geschrieben werden als

   $$H = H_0 + v^i \gamma_i,$$ Wo$H_0$ist eine erstklassige Funktion und die$v^i$sind willkürliche Funktionen der Zeit, entsprechend den willkürlichen Funktionen aus unserer Definition am Anfang. Betrachten eines beobachtbaren Phasenraums$f$zu einer Zeit$t + \delta t$und unter Berücksichtigung von zwei verschiedenen Möglichkeiten$v^i, v^i + \delta v^i$zum Zeitpunkt$t$, wir glauben, dass $$\delta f = \delta v^i\delta t \{f,\gamma_i\},\tag{4}$$ aber diese Wahl sollte keinen Unterschied machen, da die$v^i$waren von vornherein willkürlich! Daher Gl. (4) ist die Manifestation einer Eichtransformation im Hamiltonschen Formalismus, und die Zwangsbedingungen erster Klasse erzeugen solche Eichtransformationen. Hinweis: Eine sorgfältigere Argumentation des Obigen kommt nur zu dem Schluss, dass alle primären erstklassigen Einschränkungen Eichtransformationen erzeugen, und die Aussage, dass alle erstklassigen Einschränkungen Eichtransformationen erzeugen, wird als Dirac-Vermutung bezeichnet , von der normalerweise angenommen wird, dass sie wahr ist, aber zu welche Gegenbeispiele es gibt, siehe Henneaux/Teitelboim.

5. Zwangsbedingungen zweiter Klasse erzeugen keine Eichtransformationen: Dies ist offensichtlich, weil Gl. (4) sagt uns das$\delta \chi_i \neq 0$für mindestens einen$\chi_j$, was bedeutet, dass sie die Einschränkungen selbst umwandeln und zulässige Zustände des Systems auf nicht zulässige Zustände abbilden würden. Dies steht im Einklang mit der Feststellung, dass beim Festlegen eines Messgeräts ein zusätzlicher Ad-hoc-Satz von Einschränkungen ausgewählt wird$C_i(q,p) = 0$so dass keine willkürlichen Funktionen in den Lösungen der Bewegungsgleichungen übrig bleiben - alle Nebenbedingungen werden zweitklassig.

6. Schließlich können wir zur Diskussion tatsächlicher Eichsymmetrien der Aktion kommen, die wir kennen und lieben. Eine infinitesimale willkürliche Eichsymmetrie einer Aktion$S = \int L(q,\dot{q},t)\mathrm{d}t$hat die Form

   $$\delta q^i = f^{(0)} \epsilon + f^{(1)} \dot{\epsilon} + \dots = \sum_{i=1}^{l} f^{(i)} \frac{\mathrm{d}^i \epsilon}{\mathrm{d}t^i},$$ bei dem die$f^{(i)}$sind Funktionen der$q$und ihre Derivate und$\epsilon$ist eine willkürliche Funktion der Zeit. Die Hamiltonsche Wirkung ist $$S_H = \int (p_i \dot{q}^i - H_0 - v^i \gamma_i)\mathrm{d}t,$$ und ergibt nach Eliminierung der Lagrange-Multiplikatoren die ursprüngliche Lagrange-Wirkung$v^i$, wobei alle Symmetrien erhalten bleiben, was eine Eichsymmetrie von bedeutet$S_H$ist auch einer von$S_L$.

   Es ist ziemlich mühsam, aber möglich, explizit zu verifizieren, dass jede durch Gl. (4) ist eine Eichsymmetrie dieser Aktion, siehe noch einmal Henneaux/Teitelboim, Kapitel 3. Wir brauchen jedoch die Dirac-Vermutung, um zu wissen, dass alle Beschränkungen Eichtransformationen erzeugen und dass es keine zusätzlichen Eichsymmetrien gibt.

Die folgende Liste von Annahmen (wiederum von H/T) ist ausreichend, aber nicht notwendig, um die Dirac-Vermutung zu begründen:

• Der Prozess, der die sekundären, tertiären usw. Einschränkungen findet, ergibt niemals dieselbe Einschränkung in zwei verschiedenen Schritten, was bedeutet, dass es wohldefiniert ist, von einer Einschränkung zu fragen, ob sie primär oder tertiär ist.

• Der Prozess, der die höheren Beschränkungen findet, trennt Beschränkungen erster und zweiter Klasse sauber, dh eine Beschränkung erster Klasse erzeugt niemals eine Beschränkung zweiter Klasse und umgekehrt.

• Die erstklassigen Halterungen$[H,\gamma_a] = V_a^b \gamma_b$sind "hinreichend schöne Funktionen", insbesondere die Matrizen$V_{m_i}^{m_j}$Wo$m_i$bezeichnet die Indizes für Beschränkungen einer bestimmten Generation, haben maximalen Rang.

Insgesamt finden wir, dass, wenn die obigen Bedingungen erfüllt sind (oder wenn die Dirac-Vermutung trotzdem gilt) und wenn die Entartung Gl. (3) nicht allein durch Zwangsbedingungen zweiter Klasse verursacht wird, dann besteht eine Äquivalenz zwischen der Entartung und der Existenz von Eichsymmetrien der Wirkung. Beachten Sie, dass dies nach unserer anfänglichen Definition einer Eichtheorie bedeutet, dass nicht alle "Eichtheorien" Eichtransformationen besitzen!