Eichinvarianz des Yang-Mills-Lagrangian

Question

Eichinvarianz des Yang-Mills-Lagrangian

Physik
Yang-Mühlen
Eichtheorie
Eichinvarianz
lagrangescher Formalismus

Megahütte

Ich versuche, die Eichinvarianz des Yang-Mills-Lagranges zu zeigen

L = - \frac{1}{4} F_{μ v}^{A} F^{μ v, A} + \sum_{ich, J}^{N} {\bar{ψ}}_{ich} (δ_{ich J} ich \partial_{a} γ^{a} - δ_{ich J} M + G A_{a}^{A} γ^{a} T_{ich J}^{A}) ψ_{J},

$\mathcal{L}= -\frac{1}{4}F_{\mu \nu }^{a}F^{\mu \nu ,a}+\sum_{i,j}^{N}\overline{\psi}_{i} (\delta _{ij}i\partial_{\alpha}\gamma^{\alpha } -\delta _{ij}m+gA_{\alpha }^{a}\gamma^{ \alpha } T^{a}_{ij})\psi_{j},$ durch Umschreiben in Bezug auf die kovariante Ableitung

D_{μ} = \partial_{μ} - i g A_{μ}^{a} T^{a},

$D_{\mu}=\partial_{\mu}-igA^{a}_{\mu}T^{a},$ wofür ich das weiß

F_{μ ν} = \frac{i}{g} [D_{μ}, D_{ν}],

$F_{\mu \nu }=\frac{i}{g}[D_{\mu},D_{\nu}],$ (Wo

F_{μ ν} = F_{μ ν}^{a} T^{a}

$F_{\mu \nu }=F_{\mu \nu }^{a}T^{a}$ ) und dass es transformiert als

D_{μ} \to U (x) D_{μ} U^{- 1} (x)

$D_{\mu} \rightarrow U(x)D_{\mu}U^{-1}(x)$ unter der Eichtransformation. Ich hänge bei folgenden zwei Fragen fest:

Bei der Bewertung der Transformation des ersten Begriffs habe ich die Identität gesehen
$- \frac{1}{4} F_{μ v}^{A} F^{μ v, A} = - \frac{1}{2} F_{μ v}^{A} F^{μ v, B} tr [T^{A} T^{B}] = - \frac{1}{2} tr [F_{μ v} F^{μ v}]$ $-\frac{1}{4}F_{\mu \nu }^{a}F^{\mu \nu ,a}=-\frac{1}{2}F_{\mu \nu }^{a}F^{\mu \nu ,b}\text{tr}[T^{a}T^{b}]=-\frac{1}{2} \text{tr} [F_{\mu \nu }F^{\mu \nu}]$ verwendet, aber ich verstehe die zweite Gleichheit nicht. Die Komponenten des Yang-Mills-Feldtensors sind Matrizen, wie rechtfertigt man also ihre Einbeziehung in die Spur? (Das versteht sich von selbst $T^{a}$ Matrizen wurde damit normalisiert $\text{tr}[T^{a}T^{b}]=\frac{1}{2}\delta^{ab}$ Übrigens.)
Für den zweiten Term des Lagrangians habe ich die Gleichheit gesehen
$\sum_{ich, J}^{N} {\bar{ψ}}_{ich} (δ_{ich J} ich \partial_{a} γ^{a} - δ_{ich J} M + G A_{a}^{A} γ^{a} T_{ich J}^{A}) ψ_{J} = \sum_{ich, J}^{N} {\bar{ψ}}_{ich} (ich D_{ich J, a} γ^{a} - δ_{ich J} M) ψ_{J},$ $\sum_{i,j}^{N}\overline{\psi}_{i} (\delta _{ij}i \partial_{\alpha}\gamma^{\alpha }-\delta _{ij}m+gA_{\alpha }^{a}\gamma^{ \alpha } T^{a}_{ij})\psi_{j} =\sum_{i,j}^{N}\overline{\psi}_{i} ( i D_{ij, \alpha}\gamma^{\alpha }-\delta _{ij}m)\psi_{j},$ verwendet worden, aber ich verstehe nicht, wie das wahr ist, es sei denn $gA_{\alpha }^{a}\gamma^{ \alpha } T^{a}_{ij}=0$ für $i\neq j$ . Ich bin sehr gespannt, warum diese Gleichheit gilt?

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Eichinvarianz des Yang-Mills-Lagrangian

Köcher · Answer 1

Im ersten Punkt liegen Sie falsch in der Normalisierungsbedingung, die ist

Tr (T^{A} T^{B}) = \frac{1}{2} δ^{A B}

$\text{Tr}(T^aT^b) = \frac{1}{2}\delta^{ab}$ und es konnte nicht sein

δ_{i j}

$\delta_{ij}$ da Sie die Indizes verfolgen

Tr (T^{A} T^{B}) = T_{ich J}^{A} T_{J ich}^{B}

$\text{Tr}(T^aT^b) =T^a_{ij}T^b_{ji}$ Damit ist das erste Ergebnis trivial.

Der zweite Punkt ergibt sich gerade aus der Definition der kovarianten Ableitung $D_\mu = \partial_\mu-igA_\mu^aT^a$ in denen die internen Indizes verstanden werden. Wenn du sie aufschreibst, würdest du bekommen

(D_{μ})_{ich J} = \partial_{μ} δ_{ich J} - ich G A_{μ}^{A} T_{ich J}^{A}

$(D_{\mu})_{ij} =\partial_\mu\delta_{ij}-igA_\mu^aT^a_{ij}$ In der Tat

ich {\bar{ψ}}_{ich} (D_{μ})_{ich J} γ^{μ} ψ_{J} = ich {\bar{ψ}}_{ich} (\partial_{μ} γ^{μ} δ_{ich J} - ich G A_{μ}^{A} γ^{μ} T_{ich J}^{A}) ψ_{J} = {\bar{ψ}}_{ich} δ_{ich J} ich γ^{μ} \partial_{μ} ψ_{J} + G {\bar{ψ}}_{ich} γ^{μ} A_{μ}^{A} T_{ich J}^{A} ψ_{J}

$i\bar\psi_i (D_\mu)_{ij}\gamma^\mu\psi_j = i\bar\psi_i\left(\partial_\mu\gamma^\mu\delta_{ij}-igA_\mu^a\gamma^\mu T^a_{ij}\right)\psi_j = \bar\psi_i\delta_{ij}i\gamma^\mu\partial_\mu\psi_j+g\bar\psi_i\gamma^\mu A_\mu^aT^a_{ij}\psi_j$ das ist genau das, was Sie in der zweiten Gleichheit haben

Danke schön! Ihr erster Punkt zu den Indizes war eigentlich ein Tippfehler meinerseits, sorry dafür, wurde jetzt korrigiert. Ich werde versuchen deinen Hinweis zu nutzen. Für den zweiten Teil, wenn die Indizes implizit verstanden werden, sehe ich nicht ein, warum sie nicht auf der sein würden
...Delta-Funktion und nicht direkt auf der partiellen Ableitung (ohne Delta-Funktion)? Nun, ich verstehe, dass die partielle Ableitung keine Indizes haben kann, aber warum sollte die Ableitung null sein? $i \neq j$ ?
Die partielle Ableitung hat keine internen Indizes, sollte sie nicht. Genauso wie das Photonenfeld keine internen Indizes hat. Bei Indizes muss man aufpassen: $\mu$ ist ein Lorentz-Inde, $a$ ist ein interner Index, zum Beispiel ein Farbindex, wenn die Theorie ist $SU(3)$ , $i,j$ sind Spinor-Indizes. Es gibt keinen Grund für die partielle Ableitung, Spinor-Indizes oder Farbindizes zu haben. Die kovariante Ableitung hängt jedoch von der Darstellung der Theorie ab und hat daher Spinor-Indizes, da sie aufgrund der unterschiedlichen Komponenten des Spinors unterschiedlich wirkt $T^a_{ij}$ .

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