In den meisten Physiklehrbüchern wird die lokale Eichinvarianz einfach postuliert – man beginnt mit einer globalen Symmetrie, z. B. der globalen Phase, lässt sie dann vom Raumzeitpunkt abhängen, nimmt die notwendigen Anpassungen an der Ableitung vor (d. um die Invarianz zu erhalten, und herausfallen, sagen wir, die Maxwell-Gleichung. Wenn dieses Vorgehen überhaupt gerechtfertigt ist, dann vor allem wegen seiner Erfolge (die durchaus beeindruckend sind).
Gelegentlich trifft man jedoch auf Argumente, die zu behaupten scheinen, dass ein solches Verfahren aufgrund der Lokalitätserfordernisse in der Feldtheorie in gewissem Sinne notwendig ist. Das wahrscheinlich früheste derartige Argument findet sich in der Originalarbeit von Yang und Mills, wo sie schreiben:
Das bedeutet, dass ... die Orientierung des Isotopenspins keine physikalische Bedeutung hat. Die Unterscheidung zwischen einem Neutron und einem Proton ist dann ein rein willkürlicher Vorgang. Diese Willkür unterliegt jedoch, wie allgemein angenommen, der folgenden Einschränkung: Sobald man an einem Raumzeitpunkt auswählt, was man als Proton, was als Neutron bezeichnet, kann man an anderen Raumzeitpunkten keine Wahl treffen . Es scheint, dass dies nicht mit dem lokalisierten Feldkonzept übereinstimmt, das den üblichen physikalischen Theorien zugrunde liegt.
Ähnliche Argumente finden sich an anderer Stelle, z. B. David Gross in Conceptual Foundations of Quantum Field Theory , p. 58:
Im Standardmodell diktiert die nicht-Abelsche Eichsymmetrie die schwachen und starken Elektrokräfte. Heute glauben wir, dass globale Symmetrien unnatürlich sind. Sie riechen aus der Ferne nach Action. Wir vermuten nun, dass alle fundamentalen Symmetrien lokale Eichsymmetrien sind. Globale Symmetrien sind entweder gebrochen oder angenähert, oder sie sind die Überbleibsel spontan gebrochener lokaler Symmetrien.
Oder Sunny Auyang in Wie ist die Quantenfeldtheorie möglich? , S.55:
Wenn wir uns entschieden haben, an einem räumlich-zeitlichen Punkt einen bestimmten Zustand als Proton zu bezeichnen, steht es uns nicht frei, an anderer Stelle einen anderen Zustand als Proton zu bezeichnen. Die globale Konvention erfordert, dass alle Feldoperatoren einen gemeinsamen Zustandsraum teilen. Es verstößt gegen den Geist lokaler Feldtheorien, in denen sich Beschreibungen auf einen Punkt und seine infinitesimale Umgebung konzentrieren. Die Lockerung der globalen Anforderung ist der Ausgangspunkt von Eichfeldtheorien.
Dies sind jedoch offensichtlich etwas heuristische Formulierungen. Meine Frage ist jetzt, gibt es eine Möglichkeit, sie genauer zu machen? Das heißt, gibt es tatsächlich einen strengen Sinn, in dem globale Symmetrien mit der lokalen Feldtheorie unvereinbar sind? Erhalten wir eine „Fernwirkung“ oder einen anderen Konflikt mit den Prinzipien der raumzeitlichen Lokalität?
Oder dient dies nur dazu, eine gewisse Intuition aufzubauen, um eine Art Rechtfertigung dafür zu liefern, dass die Symmetrietransformation vom Raumzeitpunkt abhängt?
Nein, globale Symmetrien stehen nicht im Widerspruch zur lokalen Feldtheorie, da die globalen Transformationen nur räumlich und zeitlich konstante Eichtransformationen und somit naturgemäß eine Teilmenge der Eichtransformationen sind. Eichsymmetrien beinhalten somit eine globale Symmetrie.
All diese Zitate sollen eine Heuristik dafür liefern, warum die Entspannung von einer globalen Symmetrie zu einer lokalen (Eich-)Symmetrie aus feldtheoretischer Sicht natürlich erscheint.
Kenneth Goodenough
Prahar