Sind die Yang-Mills-Gleichung und ihr Verallgemeinerungsmaß invariant?

Ich habe die Yang-Mills-Gleichung und ihre Verallgemeinerung gekoppelt an einen Strom eines Skalarfeldes hergeleitet$\phi$durch Extremalisierung der Handlung, die a beschreibt$\mathrm{SU}(2)$Skalarfeld-Eichtheorie:

$$\partial_\mu F^{\mu\nu} +ig\left[ A_{\mu},F^{\mu\nu}\right] = j^\nu$$

Wo,$\phi$ist ein Zweikomponenten-Skalarfeld,

$$j^\nu = -ig\left[ (D_\nu \phi)^\star T^a\phi -\phi^\star T^a(D_\nu \phi)\right]T^a$$

Wo$D_\nu = \partial_\nu + ig A_\nu$. Aber wenn ich eine Spurtransformation mache:

$$\phi' = e^{-i\omega_a T_a}\phi = U\phi, \quad A'_\mu = UA_\mu U^{-1} -\frac{i}{g}U\partial_\mu U^{-1}$$

Ich finde, ich kann denselben Formalismus nicht übernehmen$j'^{\nu}$wie das Original$j^{\nu}$. Ich denke, mit meiner Berechnung muss etwas nicht stimmen, da der Strom eichungsinvariant sein sollte. Meine Frage ist daher, ob die Yang-Mills-Gleichung und ihre Verallgemeinerung eichinvariant ist und wie man diese Invarianz zeigen würde.

Mehr über meine Berechnung kommentieren Sie bitte @ACuriousMind, Danke für Ihre Hilfe und Analyse. Jetzt werde ich mehr von meiner Berechnung aufschreiben: Wenn ich die berechne$j^{\nu}$', finde ich, dass der Begriff :

$${\phi}^{*\alpha}{\partial _{\upsilon}\phi}^{\alpha }$$ enthält immer die Qualität: $${ U }^{ -1 }{ T }^{ a }U$$ als $${\phi}^{*\alpha}{\partial _{\upsilon}\phi}^{\alpha }{ U }^{ -1 }{ T }^{ a }U$$ Die ${ U }^{ -1 }{ T }^{ a }U$kann durch die Kommutatorberechnung nicht rückgängig gemacht werden. Kann ich basierend auf Ihrer obigen Antwort denken, dass dieses Phänomen richtig ist? Ich arbeite nie für QFT, und ich lerne die klassische Eichfeldtheorie selbst, bitte weisen Sie auf meinen Fehler hin, bitte, danke.