Wie hängen vierfache Gluon-Eckpunkte mit SU(2)SU(2)SU(2) und SU(3)SU(3)SU(3) zusammen?

Beginnen wir mit$U(1)$Elektromagnetismus und sehen Sie, warum es solche Wechselwirkungen nicht gibt. Der Feldstärketensor ist gegeben durch$F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$, und der relevante Teil des QED-Lagranges ist proportional zu$F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$. Das bedeutet, dass die Lagrangedichte nur Terme hat, die im Eichfeld höchstens quadratisch sind$A_\mu$. Wie aus den Feynman-Regeln hervorgeht, können daher nicht mehr als zwei Photonenlinien an einem möglichen Wechselwirkungsknoten zusammenkommen.

Bei nichtabelschen Eichtheorien wie z$SU(2)$Und$SU(3)$, die Feldstärke ist schematisch durch gegeben$F^a_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu^a - \partial_\nu A_\mu^a+g\;\epsilon^{abc}A_\mu^b A_\nu^c$, wobei ich Indizes für die nichtabelschen Symmetrietransformationen eingefügt habe und g eine Kopplungskonstante darstellt. Der zusätzliche Begriff erscheint aufgrund der nichtabelschen Natur der Eichgruppe; es kann auch als Kommutator geschrieben werden. Wie Sie jetzt sehen können, führt das Quadrieren dieses Terms zu vierten Potenzen im Eichfeld. Das bedeutet, wiederum nach den Feynman-Regeln, dass Knoten mit vier Eich-Boson-Linien möglich sind.

Allgemeiner Kommentar zur Frage (v3):

Nicht-abelsches YM [wie zB YM mit Eichgruppe$SU(2)$oder$SU(3)$] hat neben quartischen Eichboson-Wechselwirkungen auch kubische Eichboson-Wechselwirkungen, während abelsches YM (alias QED) keine von beiden hat.

Dies liegt daran, dass die Feynman-Regeln für die kubischen (quartischen) Eichbosonecken in den Lie-Algebra- Strukturkonstanten linear (quadratisch) sind $f_{abc}$, bzw.

(Erinnern Sie sich daran, dass eine Lie-Algebra per Definition genau dann abelsch ist , wenn alle Strukturkonstanten vorhanden sind$f_{abc}$verschwinden.)