Warum verletzt normales Bestellen die Ward-Identität?

Ich habe darüber nachgedacht und habe eine Vorstellung davon, was vor sich geht, aber dies wird keine vollständige Antwort sein, die daraus ableitet, dass der ordnungsgemäß normal geordnete Strom zur Ward-Identität führt, obwohl ich glaube, dass dies möglich ist.

Was ist eine normale Bestellung? Der Grund für die Einführung der normalen Ordnung ist, dass Operatoren, die Produkte von Feldern am selben Raumzeitpunkt beinhalten, schlecht definiert sind. Eine Möglichkeit, dies zu regularisieren, besteht also darin, die Felder an verschiedenen Punkten zu multiplizieren und den Propagator herauszuziehen$\Delta$das verbindet sie.

$$:\phi(x+\epsilon)^\dagger\phi(x):\,\,=\phi(x+\epsilon)^\dagger\phi(x)-\Delta(\epsilon)$$ Auf diese Weise hebt sich das singuläre Verhalten auf der rechten Seite auf und wir können es definieren $:\phi^\dagger\phi(x):$zum Beispiel.

Das Problem ist das in einer Eichtheorie$\phi(x+\epsilon)^\dagger\phi(x)$ist nicht mehr eichinvariant, da die zwei verschiedenen Punkte unterschiedliche Phasendrehungen haben können. Was wir also verwenden müssen, ist die eichinvariante Größe

$$\phi(x+\epsilon)^\dagger\phi(x)\exp\left(i\int^{x+\epsilon}_x A(x')dx'\right).$$ Ich werde noch anrufen $:\phi^\dagger\phi:$die obige nicht eichinvariante Größe. Als $\epsilon\rightarrow 0$, geht das eichinvariante Produkt zu $$\left(:\phi^\dagger\phi:+\Delta(\epsilon)\right) \left(1+i\epsilon A\right)$$ Der Querbegriff $\Delta(\epsilon)\epsilon A$geht da nicht unbedingt auf null $\Delta$geht ins Unendliche. Indem Sie einfach alle Diagramme mit einem skalaren Propagator an derselben Stelle ignorieren, die Sie verwenden $:\phi^\dagger\phi:$, aber dies ist nicht eichinvariant, es sei denn, Sie schließen das Diagramm von ein $\Delta\epsilon A$.

Ja$\phi^\dagger\phi$ist in deinem Beispiel nicht der Strom, und diese Argumentation ist nur schematisch, aber ich denke, das ist der Kern des Problems.

Ausgezeichnete Frage, OP! Wie sich herausstellt, ist das Problem tatsächlich nicht trivial: Eine naive normale Ordnung verletzt die Ward-Identität, weil ihr einige Terme im Hamilton-Operator fehlen. Man kann einen normal geordneten Hamiltonoperator verwenden, aber dabei erscheinen einige zusätzliche Feynman-Eckpunkte, und das Endergebnis ist das gleiche wie das übliche. Die Ward-Identität bleibt erhalten, aber das Bestellrezept ist komplizierter, als man zunächst denken mag. Normales Sortieren ist erlaubt, aber nicht so trivial wie in Spinor QED.

Eine ausführliche Diskussion finden Sie in The Role of Operator Ordering in Quantum Field Theory von Suzuki T., Hirshfeld AC und Leschke, H. Es wird angenommen, dass der Weyl-ordered Hamiltonian ist

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathcal H&=ieA_0(\{\Phi_1\Phi_2\}_0-\{\Phi_1^\dagger\Phi_2^\dagger\}_0)+\\ &+i\boldsymbol A\cdot(\Phi_1^\dagger\nabla\Phi_1-\Phi_1\nabla\Phi_1^\dagger)+\\ &+e^2\boldsymbol A^2\Phi_1^\dagger\Phi_1 \end{aligned} \end{equation}$$ und das führt zu den Diagrammen

Wie zu erwarten, führen diese Diagramme zu dem üblichen transversalen Polarisationstensor, sodass Ward auf der sicheren Seite ist. Die Autoren bemerken:

In einem allgemeinen Ordnungsschema sind die Beiträge der Diagramme 1 (b) und (c) dargestellt

$$\begin{equation} \begin{aligned} \Pi^{(2)}&=-ie^2(1-\lambda_{11})I_{11}(g_{\mu\nu}-g_{\mu0}g_{\nu0})\\ \Pi^{(3)}&=-ie^2\lambda_{11}I_{11}(g_{\mu\nu}-g_{\mu0}g_{\nu0}) \end{aligned} \end{equation}$$ wohingegen $\Pi^{(1)}$ist unabhängig vom gewählten Ordnungsschema. Die Summe dieser beiden Terme ist genau so, wie sie zuvor war, und die gesamte Eigenmasse der Photonen ist unabhängig vom Ordnungsschema.

Lediglich die Interpretation ist anders: Beim Weyl-Ordnungsschema ergibt sich der Beitrag aus den Closed-Loop-Diagrammen 1 (b), während beispielsweise im normalen Ordnungsschema solche Closed-Loop-Diagramme immer vernachlässigt werden, aber dann der gleiche Beitrag ergibt sich aus dem Ordnungsterm im Wechselwirkungs-Hamiltonoperator (Abb. 1 (c)).

Wir sehen also, dass, obwohl die Beiträge der einzelnen Diagramme im Allgemeinen von dem gewählten Ordnungsschema abhängen, der Gesamtbeitrag zu einer physikalisch relevanten Größe unabhängig vom Ordnungsschema ist. Wir betonen die wichtige Rolle des Ordnungsterms zur Aufrechterhaltung der Eichinvarianz. Manchmal beginnt man mit dem Hamilton-Operator der normal geordneten Wechselwirkung, wobei der Ordnungsterm a priori verworfen wird (siehe zum Beispiel Lit. 11)). Dann würde sich die Eigenmasse nicht als eichinvariant herausstellen, und es wäre notwendig, einen Gegenterm nangauge-invarianter Form einzuführen. Ähnliche Schlussfolgerungen können in Bezug auf andere Varianzen abgeleitet werden.