Faddeev-Popov-Haar-Maßinvarianz für U(1)U(1)U(1)

Ich studiere das Faddeev-Popov-Verfahren zur Quantisierung von Eichfeldern. Ich stecke in dem Schritt fest, in dem es heißt, dass das Maß für die Eichinvariante ist U ( 1 ) Fall.

Ich bin auf Stackexchange auf diese Frage gestoßen: Wie man die Faddeev-Popov-Methode auf ein einfaches Integral anwendet

Hier sagt OP in der Frage das D ω ω ' = D ω , für fest ω ' , was aus der Produktregel folgt, aber ich sehe nicht wie. Ich dachte mir:

D ω ω ' = ω ' D ω + ω D ω ' , wobei der zweite Term gegen Null geht als ω ' ist nur eine Transformation mit fester Spurweite. Aber dann D ω ω ' = ω ' D ω .

Also, was übersehe ich hier?

Antworten (1)

D ist keine Differenzierung; D ω = ∏ X D ω ( X ) ein Wegintegralmaß ist und die rechte Invarianz des Haarmaßes verwendet wird.

Kannst du das bitte etwas genauer ausführen?
Ich verstehe, dass es keine Differenzierung ist, aber wie kann die Invarianz trotzdem explizit gezeigt werden? Eine Ableitung wäre wirklich hilfreich.
Sie meinen eine explizite Formel für das Haar-Maß für die S U ( N ) Gruppe?
Nicht nur die Formel. Ein Beweis, dass es unter einer festen U(1)-Transformation wirklich invariant ist.
Nun, das Wegintegralmaß ist kein wohldefiniertes mathematisches Objekt. Der Beweis ist nur formal.
Irgendeinen Beweis muss es natürlich geben! Auf dieser Tatsache beruht die gesamte Faddeev-Popov-Methode. Introduction to Gauge Field Theory von Bailin & Love Seite 120 als Referenz.
Der formale Beweis diskretisiert typischerweise die Raumzeit. Innerhalb jedes Gitterplatzes X , die Eichtransformation ω ' wird durch ein Gruppenelement gegeben ω ' ( X ) . Als nächstes wenden Sie die Rechtsinvarianzeigenschaft des Haar-Maß bzgl. an. dieses Gruppenelement. Beenden Sie den formalen Beweis.
@Qmechanic Ich glaube, OP fragt nach dem Beweis der Invarianz von D ω ( X ) . Es ist in der Tat trivial: Das Haar-Maß ist konstruktionsbedingt invariant (eine explizite Formel für das Maß auf S U ( N ) in Gruppenkoordinaten wäre schön, bin aber zu faul zum nachschlagen). Jedenfalls für U ( 1 ) das Maß ist D ω = D φ / ( 2 π ) mit φ ∈ [ 0..2 π ) . Andererseits, D ω ist unveränderlich unter der S U ( N ) Gauge- Gruppe (die ein Produkt von ist S U ( N ) an allen Punkten der Raumzeit). Dies ist natürlich sehr formal und alles andere als klar definiert, wie Sie bereits erwähnt haben.
@Solenodon Paradoxus: Stimme zu. Das wollte ich mit meinem vorherigen Kommentar sagen.
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