Integration über ein Eichfeld in der abelschen Chern-Simons-Theorie im Feldintegralformalismus

Question

Integration über ein Eichfeld in der abelschen Chern-Simons-Theorie im Feldintegralformalismus

Physik
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Eichtheorie
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Chern-Simons-Theorie
Quantenfeldtheorie

Gregor Graviton

Ich versuche gerade, ein Kapitel in Altland & Simons, "Condensed Matter Field Theory" (2. Auflage) zu studieren , und hänge am Ende von Abschnitt 9.5.2, Seite 579 fest.

Gegeben sei die euklidische Chern-Simons-Wirkung für ein abelsches Eichfeld $a_µ$ die an einen Strom gekoppelt ist $j_µ$

S [A_{µ}, J_{µ}] = \int D^{3} X (J_{µ} A_{µ} + \frac{ich θ}{4} ε_{µ v λ} A_{µ} \partial_{v} A_{λ})

$S[a_µ,j_µ] = ∫d^3x (j_µ a_µ + \frac{iθ}4ε_{µνλ}a_µ ∂_ν a_λ)$

Die Aufgabe besteht darin, das Eichfeld zu integrieren und die effektive Aktion für den Strom zu erhalten.

Da es sich um ein Eichfeld handelt, müssen wir uns um den überflüssigen Eichfreiheitsgrad kümmern. Anmerkung von Altland & Simon in der Mitte von S. 579 wäre eine Möglichkeit, dies zu tun, die Einführung eines Term-Fixing-Terms $α (∂_µ a_µ)^2$ und lass $α\to ∞$ Am Ende.

Dies scheint jedoch nicht zu funktionieren. Im Impulsraum ist die Chern-Simons-Aktion plus die Terme zur Fixierung des Messgeräts proportional zu

\int D^{3} Q A_{µ} (- Q) {(\begin{array}{ccc} a Q_{0}^{2} & - ich Q_{2} & ich Q_{1} \\ ich Q_{2} & a Q_{1}^{2} & - ich Q_{0} \\ - ich Q_{1} & ich Q_{0} & a Q_{2}^{2} \end{array})}_{µ v} A_{v} (Q) .

$∫ d^3q\ a_µ(-q) \left( \begin{array}{ccc} \alpha q_0^2 & -i q_2 & i q_1 \\ i q_2 & \alpha q_1^2 & -i q_0 \\ -i q_1 & i q_0 & \alpha q_2^2 \end{array} \right)_{µν} a_ν(q) .$

Um die effektive Aktion für den Strom zu erhalten, muss ich diese Matrix, die wir nennen, nur invertieren $A_{µν}$ , und senden $α\to ∞$ . Aber das kann nicht sein. Beispielsweise lautet ein Eintrag der inversen Matrix

A_{01}^{- 1} = \frac{- Q_{0} Q_{1} - ich Q_{2}^{3} a}{Q_{1}^{2} Q_{2}^{2} Q_{0}^{2} a^{3} - a (Q_{0}^{4} + Q_{1}^{4} + Q_{2}^{4})}

$A^{-1}_{01} = \frac{-q_0 q_1-i q_2^3 \alpha }{q_1^2 q_2^2 q_0^2 \alpha ^3- α(q_0^4+q_1^4+q_2^4) }$

und diese verschwindet in der Grenze $α\to∞$ . Gleiches gilt für die anderen Einträge. Das ist schlecht.

Meine Frage daher

Wie man das funktionale Integral über ein Eichfeld richtig durchführt $a_µ$ mit einem Beitrag zur Festsetzung der Spurweite $α(∂_µ a_µ)^2$ Wo $α\to ∞$ ?

Mir ist bewusst, dass es andere Methoden gibt, zum Beispiel nur über die transversalen Freiheitsgrade zu integrieren, wie Altland & Simons anmerken. Es macht mir nichts aus, auch etwas über sie zu lernen, aber ich würde gerne die hier vorgestellte besonders verstehen. Ganz zu schweigen davon, dass ich bei der obigen Berechnung möglicherweise einen einfachen Fehler gemacht habe.

Olaf

Nur für den Fall, dass die Leute es nicht bemerken (ich habe es nur wegen der Antwort von @Moshe bemerkt): Der oben gemachte Fehler ist das

α (\partial_{μ} a_{ν})^{2} = α (\partial_{μ} a_{μ}) (\partial_{ν} a_{ν})

$\alpha(\partial_\mu a_\nu)^2 = \alpha(\partial_\mu a_\mu) (\partial_\nu a_\nu)$ , also jede Matrix

A_{μ ν}

$A_{\mu \nu}$ Eintrag muss den Begriff enthalten

α q_{μ} q_{ν}

$\alpha q_\mu q_\nu$ . Im Moment erscheint dies nur in den diagonalen Komponenten.

Gregor Graviton

Ups, in der Tat. Dieser Begriff entspricht und soll der Projektion entsprechen

L_{µ ν} a_{ν} = \frac{q_{µ} q_{ν}}{q^{2}} a_{ν}

$L_{µν} a_ν = \frac{q_µq_ν}{q^2} a_ν$ auf die Längsfreiheitsgrade.

Antworten (1)

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Nur für den Fall, dass die Leute es nicht bemerken (ich habe es nur wegen der Antwort von @Moshe bemerkt): Der oben gemachte Fehler ist das $\alpha(\partial_\mu a_\nu)^2 = \alpha(\partial_\mu a_\mu) (\partial_\nu a_\nu)$ , also jede Matrix $A_{\mu \nu}$ Eintrag muss den Begriff enthalten $\alpha q_\mu q_\nu$ . Im Moment erscheint dies nur in den diagonalen Komponenten.
Ups, in der Tat. Dieser Begriff entspricht und soll der Projektion entsprechen $L_{µν} a_ν = \frac{q_µq_ν}{q^2} a_ν$ auf die Längsfreiheitsgrade.

David Bar Mosche · Answer 1

Im vorliegenden Fall halte ich es für bequemer, die Propagatorrechnung kovariant (und nicht in Komponenten) durchzuführen.

Der inverse Propagator (im Impulsraum) kann aus der abelschen Chern-Simons-Aktion einschließlich des Eichfixierungsterms wie folgt gelesen werden:

$G^{-1}_{\mu\nu}(k) = \alpha q_{\mu} q_{\nu} + i \frac{\theta}{4} \epsilon_{\mu\nu\rho}q^{\rho}$

Für den Propagator verwenden wir den Ansatz:

$G_{\sigma\tau}(k) = \beta q_{\sigma} q_{\tau} + i \gamma \epsilon_{\sigma\tau\eta}q^{\eta}$

Die Parameter $\beta$ Und $\gamma$ muss aus der Bedingung berechnet werden:

$G^{-1}_{\mu\nu}(k) \delta^{\nu\sigma} G_{\sigma\tau}(k)= \delta_{\mu\tau}$

Bitte beachten Sie, dass der Propagator keinen Begriff enthalten darf, der proportional zu ist $\delta_{\nu\sigma}$ , denn dieser Term würde einen Term proportional zu ergeben $\epsilon_{\mu\sigma\tau}q^{\tau}$ nach Kontraktion mit dem inversen Propagator, der mit keinem anderen Term kürzbar ist.

Wir erhalten:

$(\alpha \beta q^2 -\frac{\theta}{4} \gamma) q_{\mu} q_{\tau} + \frac{\theta}{4} \gamma q^2 \delta^{\mu\tau} = \delta^{\mu\tau}$

(Wobei die folgende Identität verwendet wurde: $\delta^{\nu \sigma}\epsilon_{\mu\nu\rho} \epsilon_{\sigma\tau\eta} = \delta_{\mu \eta}\delta_{\rho \tau}- \delta_{\mu \tau}\delta_{\rho \eta}$ )

Daher:

$\gamma = \frac{4}{\theta q^2}$

$\beta = \frac{\theta \gamma }{4 \alpha q^2} = \frac{1}{\alpha q^4}$

Daher $\beta$ verschwindet in der Grenze $\alpha \to \infty$ und uns bleibt die effektive Aktion:

$\frac{1}{\theta}\int d^3q J^{\sigma}(-q) \frac{\epsilon_{\sigma\tau\eta}q^{\eta}}{q^2} J^{\tau}(-q)$

Der Faktor 4 hebt sich mit einem ähnlichen Faktor auf, der aus der Quadratvervollständigung stammt.

Danke schön! Ich verstehe jetzt auch warum die Methode des Vermietens $α\to ∞$ funktioniert für jede eichinvariante Aktion. Der Grund liegt einfach darin, dass eine eichinvariante Aktion während des Ausdrucks auf die transversalen Freiheitsgrade projiziert wird $\frac{q_νq_µ}{q^2}$ Projekte zum Längsfreiheitsgrad.
Ich möchte fragen, was mit den beiden (imaginären) Kreuztermen aus der Auswertung der Propagatorbedingung passiert ist $G^{−1}_{μν}(k)δ^{νσ}G_{στ}(k)=δ_{μτ}$ , da in Ihrem Ausdruck nur noch die beiden echten Begriffe übrig zu sein scheinen $(αβq^2−\frac{θ}{4}γ)q_μq_τ+\frac{θ}{4}γq^2δ^{μτ}=δ^{μτ}$ .
@dgwp Sie sind aufgrund der Symmetrie identisch gleich Null $\epsilon_{\mu \nu \rho}q^{\mu}q^{\nu}q^{\rho} = 0$

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Gregor Graviton

Olaf

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dgwp

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