Chern-Simons-Begriff: Integrieren von Gap-Fermionen in 2+1-Dimensionen, gekoppelt an ein externes Eichfeld

Ich glaube, ich habe es herausgefunden.

Wir suchen nach der topologischen Antwort, daher genügt es, die Antwort eines beliebigen Systems zu betrachten, das durch einen Hamilton-Operator beschrieben wird, der adiabatisch mit demjenigen verbunden ist, mit dem wir begonnen haben. Insbesondere können wir eines mit einem flachen Spektrum verwenden:$H=\int\frac{d^2p}{(2\pi)^2}\psi^{*}(p) H(p)\psi(p)$in dem die Beziehung$H(p)=U(p)\text{diag}(-I_{k},I_{n-k})U^{*}(p)$hält lokal. Hier$k$ist die Anzahl der besetzten Bänder und$U(k)=[v_1(p),...,v_{n}(p)]$ist eine orthogonale Matrix von Eigenvektoren von$H(p)$. Insbesondere die$k\times n$Matrix$S(p)=[v_1(p),...,v_{k}(p)]$beschreibt lokal das belegte Bündel. Wir können auch schreiben$H(p)=P^{\perp}(p)-P(p)$, wo$P(p)=S(p)S^{*}(p)$geht der Projektor auf die Faser des belegten Bündels über$p$. Die Krümmung des Bündels kann als Endomorphismus des trivialen Bündels beschrieben werden$\mathbb{T}^2\times \mathbb{C}^n$durch den Ausdruck$\Omega=PdP\wedge dPP=dP\wedge P^{\perp}dP$. Der spätere Ausdruck ist bei der Berechnung der effektiven Aktion nützlich. Die Idee ist, dass wir damit beginnen$Z_0=\text{Det}(G_0^{-1})$und dann die minimale Kopplung mit einem externen Eichfeld durchführen. In einer Phasenraumdarstellung ($(p,x)$-Darstellung) und unter der Annahme, dass das externe Eichfeld in Skalen variiert, die größer sind als die typische Skala des Systems, können wir die Umkehrung der neuen Green-Funktion schreiben als$G^{-1}(p,x)\approx G_0^{-1}(p) -e A_{\mu}(x)\partial G_0^{-1}/\partial p_ \mu(p)$. Schreiben$\Sigma(p,x)=-eA_{\mu}(x)\partial G_0^{-1}/\partial p_ \mu(p)$wir haben$\text{Det}(G^{-1})\approx Z_0\text{Det}(I+G_0\Sigma)$. Die effektive Wirkung ergibt sich dann durch die formale Erweiterung$\log(\text{Det}(I+G_0\Sigma))=\text{Tr}\log(I+G_0\Sigma)\approx \text{Tr}(G_0\Sigma)-\frac{1}{2}\text{Tr}(G_0\Sigma G_0\Sigma)$. Die Zustandssumme sollte Gauge-invariant sein, daher werden wir nur nach solchen Termen suchen. In$2+1$Dimensionen dürfen wir neben dem Maxwell-Term auch den Chern-Simons-Term haben$S_{CS}(A)=(1/4\pi)\int A\wedge dA$. Wir suchen die quadratischen Terme (also im zweiten Term der zuvor geschriebenen Entwicklung), die haben$A_\mu(x)$und$\partial_\mu A_\nu(x)$. Die Produkte unter der Funktionalspur sind tatsächlich Faltungen, und wenn wir die Transformation zur gemischten Orts-Impuls-Darstellung durchführen, erhalten wir eine verdrehte Produktentwicklung, nämlich das Moyal-Produkt:$\int d^3x_2 A(x_1,x_2)B(x_2,x_3)\rightarrow A(p,x)B(p,x)+(i/2)\{A,B\}_{\text{PB}}(p,x)+...$, wo$\{.,.\}_{\text{PB}}$ist die Poisson-Klammer. Uns reichen die ersten beiden Laufzeiten der Erweiterung. Suchen wir nach den genannten Begriffen landen wir beim Beitrag$(ie^{2}/2)(1/3!)(\int d^3p/(2\pi)^3 \text{tr} (G_0\partial G_0^{-1}/\partial p_\mu G_0\partial G_0^{-1}/\partial p_\nu G_0\partial G_0^{-1}/\partial p_\lambda) \varepsilon_{\mu\nu\lambda}) \int A\wedge dA$. Durch Ausführen des Integrals über die Frequenz$p_0$, letzteres kann als gleich gezeigt werden$2\pi i\sigma_{H} S_{CS}(A)$, mit$\sigma_{H}=(e^{2}/2\pi)\times \int_{\mathbb{T}^2}\text{tr}(i\Omega/2\pi)\equiv (e^{2}/2\pi)\times c_1$($c_1$bezeichnet die erste Chern-Nummer des belegten Bündels), wie erwartet.