Pfadintegral und geometrische Quantisierung

Im Spezialfall der geometrischen Quantisierung bezüglich einer Kähler-Polarisation, (die das Wegintegral für Spin Over überdeckt$S^2$in der Frage erwähnt), gibt es einen strengen Weg, um ein Pfadintegral zu definieren, dh in Bezug auf ein wohldefiniertes Maß auf dem Raum der Pfade. Siehe zum Beispiel den folgenden Artikel von Laurent Charles. Diese Art von Pfadintegral wurde von FA Berezin in seinem berühmten Artikel über kovariante und kontravariante Operatorsymbole vorgeschlagen. (Es gibt eine Online- Version in russischer Sprache, in der eine diskretisierte Version auf der letzten Seite (vor den Referenzen) angegeben ist).

Tatsächlich hat Witten dieses Pfadintegral in seiner bahnbrechenden Arbeit Quantenfeldtheorie und das Jones-Polynom verwendet , aber nicht explizit gezeigt. Die von Witten verwendete Form, die hier beschrieben wird, ist eine Wegintegraldarstellung einer Wilson-Schleife. Hier schreibe ich diesen Spezialfall des Wegintegrals in verständlicher Form auf und versuche die physikalische Intuition dahinter zu erklären.

$\left < tr_{\mathcal{H}}T\{exp(i\int_0^T B^{a}(t) \sigma_a)\}\right > = \mathrm{lim}_{m\rightarrow \infty}\int exp\big (i\int _0^T \alpha^{\mathcal{H}}_i\dot{z}^i - \bar{\alpha}^{\mathcal{H}}_i \dot{\bar{z}}^i + \frac{m}{2}g_{i\bar{j}}\dot{z}^i \dot{\bar{z}}^j+B^{a} (t)\Sigma^{\mathcal{H}}_a(z, \bar{z})\big) \mathcal{D}z\mathcal{D}\bar{z}$

Die linke Seite ist die Spur eines zeitgeordneten Produkts eines Spins (oder allgemeiner ein Element einer Lie-Algebra$\sigma_a)$) an ein externes Magnetfeld gekoppelt$B^{a}$in der Vertretung$\mathcal{H}$. Wie von Witten nach dem Satz von Borel Weil Bott erklärt, entspricht jeder Darstellung eine koadjungierte Bahn mit einer gegebenen Kähler-Form$\omega^{\mathcal{H}}$je nach Vertretung$\mathcal{H}$. Auf dieser Mannigfaltigkeit wird das Wegintegral durchgeführt. Es ist ein Riemannsches Pfadintegral, dessen Aktion 3 Arten von Termen enthält: Die ersten Terme hängen von den symplektischen Potentialen ab$\alpha^{\mathcal{H}}$befriedigend:$\omega^{\mathcal{H}} =d\alpha^{\mathcal{H}}$. Dieser Term hat die Form einer Wechselwirkung mit einem magnetischen Monopol.

Der zweite Term ist der Riemannsche kinetische Energieterm. Der dritte Term ist proportional zu den Hamilton-Funktionen$\Sigma^{\mathcal{H}}_a(z, \bar{z})$deren Poisson-Klammern die Lie-Algebra auf der koadjungierten Bahn erfüllen. Dieser Term ist von der Art der Wechselwirkung mit einem externen zeitlich veränderlichen Magnetfeld.

Zusammenfassend ist also das Wegintegral ein nichtrelativitisches Wegintegral über einer Riemannschen Mannigfaltigkeit in Gegenwart von Magnetfeldern. Mit anderen Worten ist der entsprechende Hamilton-Operator ein magnetischer Schrödinger-Operator. Die Lösungen für diese Art von Problemen sind bekanntlich Landau-Niveaus a und das niedrigste Landau-Niveau ist im Allgemeinen entartet.

Die entscheidende Beobachtung ist, dass bei der Partikelmasse$m$gegen unendlich strebt, werden die angeregten Landau-Niveau-Energien sehr hoch und entkoppeln, so bleiben wir beim niedrigsten Landau-Niveau, das zufällig genau die Darstellung ist$\mathcal{H}$wir gingen von.

Es ist erwähnenswert, dass diese Form des Pfadintegrals andere Anwendungen hat und in Arbeiten über Heisenberg-Ferromagnete und Quarkeinschluss verwendet wurde.

Ich muss zugeben, dass ich deine Frage nicht ganz verstehe - aber ich versuche sie zu beantworten :)

Nach Durchführung des geometrischen Quantisierungsverfahrens (Vorquantisierung und Polarisation) erhalten Sie einen wohldefinierten Hilbert-Raum (der im Allgemeinen unendlich dimensional ist). Darüber hinaus können Sie unter geeigneten Bedingungen die klassischen Observablen quantisieren, um Quantenoperatoren zu erhalten. Angenommen, Sie erhalten einen Hamilton-Operator$H$. Dann sind Sie in der Lage, diese "Quanten"-Theorie im Pfad-Integral-Formalismus neu zu formulieren. Eine Diskussion des Pfadintegrals im Rahmen der geometrischen Quantisierung findet sich im Standardwerk: Woodhouse: Geometric quantization!

Randbemerkung: Pfadintegrale sind auch für endlichdimensionale Hilberträume definiert. Sie sind sogar noch einfacher, da sich das „Integral über alle Pfade“ auf eine „Summe über alle möglichen Zwischenzustände“ reduziert. Google sollte Ihnen bei Pfadintegralen in zwei/vielen Zustandssystemen helfen (zB http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2008/lec22.pdf ).