Ableitungswechselwirkung: Hinweis≠−LintHint≠−Lint\mathcal{H}_\mathrm{int}\neq - \mathcal{L}_\mathrm{int}. Frage zu den Feynman-Regeln

Question

Ableitungswechselwirkung: Hinweis≠−LintHint≠−Lint\mathcal{H}_\mathrm{int}\neq - \mathcal{L}_\mathrm{int}. Frage zu den Feynman-Regeln

Physik
Eichtheorie
Quantisierung
Wegintegral
Lorentz-Symmetrie
Quantenfeldtheorie

Benutzer153663

Wie wir wissen, wenn es eine zeitabgeleitete Wechselwirkung gibt $\mathcal L_\mathrm{int}$ , Dann $\mathcal{H}_\mathrm{int}\neq -\mathcal{L}_\mathrm{int}$ . Zum Beispiel Skalar-QED,

\begin{aligned} L_{ich N T} & = - ich e ϕ^{†} (\partial_{μ} ϕ) A^{μ} + ich e (\partial_{μ} ϕ^{†}) ϕ A^{μ} + e^{2} ϕ^{†} ϕ A_{μ} A^{μ}, \\ H_{ich N T} & = - L_{ich N T} - e^{2} ϕ^{†} ϕ (A^{0})^{2} . \end{aligned}

$\begin{aligned} \mathcal{L}_\mathrm{int}&= -ie \phi^\dagger(\partial_\mu \phi) A^\mu+ie(\partial_\mu \phi^\dagger) \phi A^\mu +e^2\phi^\dagger \phi A_\mu A^\mu, \\ \mathcal{H}_\mathrm{int}&=-\mathcal{L}_\mathrm{int} -e^2 \phi^\dagger\phi (A^0)^2. \end{aligned}$ Es gibt den letzten Term, der die Lorentz-Invarianz bricht.

Ableitung:

\begin{array}{rcl} L & = & (\partial_{μ} + ich e A_{μ}) ϕ (\partial^{μ} - ich e A^{μ}) ϕ^{†} - M^{2} ϕ^{†} ϕ \\ = & L_{0}^{K G} + L_{ich N T}, \end{array}

$\begin{eqnarray} \mathcal{L}&=&(\partial_\mu+i e A_\mu)\phi (\partial^\mu-i e A^\mu)\phi^\dagger-m^2\phi^\dagger \phi\\ &=&\mathcal{L}_0^\mathrm{KG}+\mathcal{L}_\mathrm{int}, \end{eqnarray}$ Wo

L_{0}^{K G} = \partial_{μ} ϕ \partial^{μ} ϕ^{†} - M^{2} ϕ^{†} ϕ,

$\mathcal{L}_0^\mathrm{KG}=\partial_\mu\phi \partial^\mu\phi^\dagger-m^2\phi^\dagger \phi,$

L_{ich N T} = - ich e ϕ^{†} (\partial_{μ} ϕ) A^{μ} + ich e (\partial_{μ} ϕ^{†}) ϕ A^{μ} + e^{2} ϕ^{†} ϕ A_{μ} A^{μ},

$\mathcal{L}_\mathrm{int}= -ie \phi^\dagger(\partial_\mu \phi) A^\mu+ie(\partial_\mu \phi^\dagger) \phi A^\mu +e^2\phi^\dagger \phi A_\mu A^\mu,$

π = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{0} ϕ)} = \partial^{0} ϕ^{†} - ich e A^{0} ϕ^{†},

$\pi=\frac{\partial \mathcal{ L}}{\partial(\partial_0 \phi)}=\partial^0\phi^\dagger-i e A^0 \phi^\dagger,$

π^{†} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{0} ϕ^{†})} = \partial^{0} ϕ + ich e A^{0} ϕ,

$\pi^\dagger=\frac{\partial \mathcal{ L}}{\partial(\partial_0 \phi^\dagger)}=\partial^0\phi+i e A^0 \phi,$

\begin{array}{rcl} H & = & π \dot{ϕ} + π^{†} {\dot{ϕ}}^{†} - L \\ = & π \dot{ϕ} + π^{†} {\dot{ϕ}}^{†} - ({\dot{ϕ}}^{†} \dot{ϕ} - \nabla ϕ^{†} \cdot \nabla ϕ - M^{2} ϕ^{†} ϕ) - L_{ich N T} \\ = & π (π^{†} - ich e A^{0} ϕ) + π^{†} (π + ich e A^{0} ϕ^{†}) - ((π^{†} - ich e A^{0} ϕ) (π + ich e A^{0} ϕ^{†}) \\ - \nabla ϕ^{†} \cdot \nabla ϕ - M^{2} ϕ^{†} ϕ) - L_{ich N T} \\ = & (π^{†} π + \nabla ϕ^{†} \cdot \nabla ϕ + M^{2} ϕ^{†} ϕ) - L_{ich N T} - e^{2} ϕ^{†} ϕ (A^{0})^{2} \\ = & H_{0}^{K G} + H_{ich N T} . \end{array}

$\begin{eqnarray} \mathcal{H}&=&\pi \dot\phi+\pi^\dagger \dot\phi^\dagger-\mathcal{L} \\ &=&\pi \dot\phi+\pi^\dagger \dot\phi^\dagger-(\dot\phi^\dagger\dot\phi-\nabla\phi^\dagger \cdot\nabla\phi-m^2 \phi^\dagger\phi)-\mathcal{L}_\mathrm{int} \\ &=&\pi(\pi^\dagger-ieA^0\phi)+\pi^\dagger (\pi +ieA^0\phi^\dagger)-((\pi^\dagger-ieA^0\phi)(\pi +ieA^0\phi^\dagger) \\ &&-\nabla\phi^\dagger \cdot\nabla\phi-m^2 \phi^\dagger\phi)-\mathcal{L}_\mathrm{int}\\ &=&(\pi^\dagger \pi + \nabla\phi^\dagger \cdot\nabla\phi+m^2 \phi^\dagger\phi)-\mathcal{L}_\mathrm{int} -e^2 \phi^\dagger\phi (A^0)^2 \\ &=&\mathcal{H}_0^\mathrm{KG}+\mathcal{H}_\mathrm{int}. \end{eqnarray}$

Meine Fragen:

Die Feynman-Regeln für Skalar-QED finden Sie hier . Aber wir sehen, dass es einen zusätzlichen Begriff in der Interaktion Hamitonian gibt $-e^2 \phi^\dagger\phi (A^0)^2$ , sollte es nach Wicks Theorem einen Beitrag zur Feynman-Regel leisten, der in diesem Lehrbuch nicht vorkommt. Ich habe diesen Scheitelpunkt berechnet und festgestellt, dass er ungleich Null ist. Warum gibt es keine Feynman-Regeln für einen solchen Lorentz-Brechbegriff?
Wie wir wissen, ist für die Pfadintegralquantisierung das Koordinatenraum-Pfadintegral:
$Z_{1} = \int D Q \exp (\int D T L (Q, \dot{Q})) .$ $Z_1= \int D q\ \exp\left(\int dt\ L(q,\dot q) \right).$ Und Phasenraumwegintegral: $Z_{2} = \int D P D Q \exp (\int D T P \dot{Q} - H (P, Q)) .$ $Z_2= \int D p\, D q\ \exp\left(\int dt\ p\dot q -H(p,q) \right).$ Nur für diesen Typ Lagrange $L=\dot q^2-V(p)$ , Dann $Z_1=Z_2$ . ( Die Feynman-Regeln für die skalare QED im Lehrbuch sind dieselben wie die, die durch das Koordinatenraumpfadintegral abgeleitet werden.) Ich betrachte die zweite Methode der Pfadintegralquantisierung als immer äquivalent zur kanonischen Quantisierung. Sind diese beiden Arten der Pfadintegralquantisierung also für die skalare QED gleich? Wie zu beweisen?
Für die nicht-abelsche Eichtheorie gibt es sogar im Eichfeld selbst eine abgeleitete Wechselwirkung. Es scheint, dass alle Lehrbücher verwenden $Z_1$ um die Feynman-Regeln zu bekommen. Sind diese beiden Arten der Pfadintegralquantisierung im nicht-abelschen Eichfeld gleich? Wenn nicht dasselbe, warum wählen wir dann das Koordinatenraumpfadintegral? Es ist das Axiom, weil es mit dem Experiment zusammenfällt?

Antworten (2)

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AccidentalFourierTransform · Answer 1

Einige allgemeine Bemerkungen:

Im Operatorformalismus wird der nicht-kovariante Zusatzterm im Hamilton-Operator durch einen nicht-kovarianten Term aufgehoben, der aus dem naiven Zeitordnungssymbol stammt:
$T \sim T_{C Ö v} - e^{2} ϕ^{2} A_{0}^{2}$ $\mathrm T\sim\mathrm T_\mathrm{cov}-e^2\phi^2A^2_0$

Einzelheiten finden Sie in Ref. 1, Abschnitt 6-1-4.

Andererseits wird der Fall des Pfad-Integral-Formalismus durch Punkt 2 unten abgedeckt.
Die formale Äquivalenz $Z_1=Z_2$ kann für jeden Hamiltonoperator der Form bewiesen werden
$H \sim A^{ich J} π_{ich} π_{J} + B^{ich} (ϕ) π_{ich} + C (ϕ)$ $H\sim A^{ij}\pi_i\pi_j+B^i(\phi)\pi_i+C(\phi)$ wofür Ihr Hamiltonian ein Beispiel ist. Für den Beweis und die relevante Diskussion siehe Lit. 2, Band 1, Abschnitt 9.3.
Zur Diskussion der Pfad-Integral-Quantisierung von nicht-abelschen Eichtheorien siehe Lit. 2, Band 2, Kapitel 15.4 -- 15.8. Ref.1, Kapitel 12-2 ist ebenfalls lesenswert. Zusamenfassend, " $Z_1=Z_2$ " bis auf die durch die Eichinvarianz eingeführten Feinheiten.

Verweise

[1] Itzykson & Zuber, Quantenfeldtheorie.

[2] Weinberg, Quantentheorie der Felder.

Könnten Sie den ersten Punkt von Ihnen etwas erläutern? Was ist der Grund für die Wahl eines solchen $\text{T}$ ?
Hallo @SolenodonParadoxus Ich denke, dass der erste Punkt in der Referenz [1] sehr gut erklärt ist, daher wäre es sinnlos, ihn hier zusammenzufassen. Der wesentliche Punkt ist das $\mathrm T(\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi)=\partial_\mu\partial_\nu\mathrm T(\phi\phi)+\delta_\mu^0\delta_\nu^0\delta(t-t')$ , was nicht kovariant ist. Wir definieren $\mathrm T_\mathrm{cov}$ so dass $\mathrm T_\mathrm{cov}(\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi)=\partial_\mu\partial_\nu\mathrm T_\mathrm{cov}(\phi\phi)$ , die jetzt kovariant ist. Der zusätzliche Begriff $\delta_\mu^0\delta_\nu^0\delta(t-t')$ hebt den nicht-kovarianten Term in H_int auf

QMechaniker · Answer 2

AccidentalFourierTransform hat bereits eine gute Antwort gegeben. Hier werden wir weitere Details und Begründungen für eine Klasse von Nicht-Eich-Derivat-Wechselwirkungen bereitstellen.

Wir gehen von einer Lagrange-Aktion aus,
$\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} S [Q] = & \int_{T_{ich}}^{T_{F}} D T L = S_{0} [Q] + S_{ich N T} [Q], \\ L = & L_{0} (Q, \dot{Q}) + L_{ich N T} (Q, \dot{Q}), \\ S_{0} [Q] = & \int_{T_{ich}}^{T_{F}} D T L_{0} (Q, \dot{Q}), \\ L_{0} (Q, \dot{Q}) = & \frac{1}{2} {\dot{Q}}^{2} = \frac{1}{2} {\dot{Q}}^{ich} G_{ich J} {\dot{Q}}^{J}, \\ S_{ich N T} [Q] = & \int_{T_{ich}}^{T_{F}} D T L_{ich N T} (Q, \dot{Q}), \\ L_{ich N T} (Q, \dot{Q}) = & A_{ich} {\dot{Q}}^{ich} - v, \\ G_{ich J} = & G_{ich J} (Q), A_{ich} = A_{ich} (Q), v = v (Q), \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} S[Q]~=~&\int_{t_i}^{t_f}\! dt~ L~=~S_0[Q]+S_{\rm int}[Q], \cr L~=~& L_0(Q,\dot{Q})+L_{\rm int}(Q,\dot{Q}),\cr S_0[Q]~=~&\int_{t_i}^{t_f}\! dt~ L_0(Q,\dot{Q}), \cr L_0(Q,\dot{Q})~=~&\frac{1}{2}\dot{Q}^2~=~\frac{1}{2} \dot{Q}^i G_{ij} \dot{Q}^j,\cr S_{\rm int}[Q]~=~&\int_{t_i}^{t_f}\! dt~ L_{\rm int}(Q,\dot{Q}), \cr L_{\rm int}(Q,\dot{Q})~=~&A_i\dot{Q}^i - V, \cr G_{ij}~=~&G_{ij}(Q), \qquad A_i~=~A_i(Q), \qquad V~=~V(Q), \end{align} \tag{1}$ die in Geschwindigkeiten quadratisch ist. Wir nehmen an, dass die Lagrange-Wirkung (1) offensichtlich Lorentz-kovariant ist. [Wir verwenden die komprimierte DeWitt-Notation $^1$ um räumliche (aber nicht zeitliche) Dimensionen zu unterdrücken, die die manifeste Lorentz-Kovarianz oberflächlich verschleiern können. Also zB die $\frac{1}{2}\dot{Q}^2$ Begriff ein $L_0$ wird implizit von a begleitet $\frac{1}{2}(\nabla Q)^2$ Begriff ein $V$ , und so weiter. Quellenbegriffe $J_iQ^i$ werden ebenfalls als drinnen vermutet $V$ .]
Das kanonische Momentum lautete
$\begin{matrix} (2) & P_{ich} = G_{ich J} {\dot{Q}}^{J} + A_{ich} . \end{matrix}$ $P_i~=~G_{ij}\dot{Q}^j+A_i.\tag{2}$ Wir betonen, dass die entsprechende Hamilton-Aktion ebenfalls Lorentz-kovariant ist, $\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} S_{H} [Q, P] = & \int_{T_{ich}}^{T_{F}} D T L_{H} = S_{H, 0} [Q, P] + S_{H, ich N T} [Q, P], \\ L_{H} = & P_{ich} {\dot{Q}}^{ich} - H (Q, P), \\ H (Q, P) = & H_{0} (Q, P) + H_{ich N T} (Q, P), \\ S_{H, 0} [Q, P] = & \int_{T_{ich}}^{T_{F}} D T L_{H, 0}, \\ L_{H, 0} = & P_{ich} {\dot{Q}}^{ich} - H_{0} (Q, P), \\ H_{0} (Q, P) = & \frac{1}{2} P^{2} = \frac{1}{2} P_{ich} G^{ich J} P_{J}, \\ S_{H, ich N T} [Q, P] = & - \int_{T_{ich}}^{T_{F}} D T H_{ich N T} (Q, P), \\ H_{ich N T} (Q, P) = & - A^{ich} P_{ich} + \frac{1}{2} A^{2} + v, \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} S_H[Q,P]~=~&\int_{t_i}^{t_f}\! dt~ L_H~=~S_{H,0}[Q,P]+S_{H,{\rm int}}[Q,P], \cr L_H~=~&P_i \dot{Q}^i-H(Q,P), \cr H(Q,P)~=~&H_0(Q,P)+H_{\rm int}(Q,P), \cr S_{H,0}[Q,P]~=~&\int_{t_i}^{t_f}\! dt~ L_{H,0}, \cr L_{H,0} ~=~&P_i \dot{Q}^i-H_0(Q,P), \cr H_0(Q,P)~=~&\frac{1}{2}P^2~=~\frac{1}{2}P_i G^{ij}P_j,\cr S_{H,{\rm int}}[Q,P] ~=~&-\int_{t_i}^{t_f}\! dt~H_{\rm int}(Q,P), \cr H_{\rm int}(Q,P)~=~& -A^iP_i + \color{red}{\frac{1}{2} A^2}+V,\end{align}\tag{3}$ trotz des nicht kovarianten Terms $A^2:=A_iG^{ij}A_j$ rot markiert in Gl. (3). Wir haben dies nicht von Hand eingegeben. Es kommt tatsächlich von der richtigen Durchführung der Legendre-Transformation .

Wir erwähnen (für einen späteren instruktiven Vergleich mit Gleichung (6) unten) das
$\begin{matrix} (4) & L_{ich N T} (Q, \dot{Q}) + H_{ich N T} (Q, P) \overset{(1) + (2) + (3)}{=} - \frac{1}{2} A^{2} (Q), \end{matrix}$ $L_{\rm int}(Q,\dot{Q})+H_{\rm int}(Q,P) ~\stackrel{(1)+(2)+(3)}{=}~ - \color{red}{\frac{1}{2} A^2(Q)},\tag{4}$ obwohl Gl. (4) wird im Folgenden nicht verwendet. Gl. (4) entspricht der zweiten Formel von OP.
Bisher haben wir nur die klassische Theorie besprochen. In der entsprechenden quantenmechanischen Operatorformulierung die Operatoren $\hat{Q}^i$ Und $\hat{P}_j$ sind im Heisenberg-Bild .
Als nächstes betrachten wir das Interaktionsbild . Hier stehen Geschwindigkeit und Impuls in Beziehung über
$\begin{matrix} (5) & {\dot{Q}}^{ich} = \frac{\partial H_{0} (Q, P)}{\partial P_{ich}} = G^{ich J} P_{J}, \end{matrix}$ $\dot{q}^i~=~\frac{\partial H_0(q,p)}{\partial p_i}~=~G^{ij}p_j,\tag{5}$ was mit der entsprechenden Beziehung (2) im Heisenberg-Bild verglichen werden sollte. Gl. (5) hat zwei Konsequenzen.

Zunächst leiten wir die etwas überraschende Beziehung her
$\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} L_{ich N T} (Q, \dot{Q}) + H_{ich N T} (Q, P) \overset{(5)}{=} & L_{ich N T} (Q, \dot{Q}) + H_{ich N T} (Q, G \dot{Q}) \\ \overset{(1) + (3)}{=} & + \frac{1}{2} A^{2} (Q), \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} L_{\rm int}(q,\dot{q})+H_{\rm int}(q,p) ~\stackrel{(5)}{=}~&L_{\rm int}(q,\dot{q})+H_{\rm int}(q,G\dot{q})\cr ~\stackrel{(1)+(3)}{=}&+\color{red}{\frac{1}{2} A^2(q)},\end{align}\tag{6}$ was das entgegengesetzte Vorzeichen von Gl. (4)! Dieses Vorzeichen von Gl. (6) wird im Folgenden wichtig sein.

Zweitens, Gl. (5) impliziert die zeitgleiche CCR
$\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} [{\hat{Q}}^{ich} (T), {\dot{\hat{Q}}}^{J} (T)] \overset{(5)}{=} & ich ℏ G^{ich J} 1, \\ [{\hat{Q}}^{ich} (T), {\hat{Q}}^{J} (T)] = & 0. \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} [\hat{q}^i(t),\dot{\hat{q}}^j(t)] ~\stackrel{(5)}{=}~&i\hbar~ G^{ij} {\bf 1},\cr [\hat{q}^i(t),\hat{q}^j(t)]~=~&0. \end{align} \tag{7}$ Wir leiten ab, dass die kovariante Zeitordnung ist $\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} T_{C Ö v} {{\hat{Q}}^{ich} (T_{1}) {\hat{Q}}^{J} (T_{2})} \equiv & T {{\hat{Q}}^{ich} (T_{1}) {\hat{Q}}^{J} (T_{2})}, \\ T_{C Ö v} {{\hat{Q}}^{ich} (T_{1}) {\dot{\hat{Q}}}^{J} (T_{2})} \equiv & \frac{D}{D T_{2}} T {{\hat{Q}}^{ich} (T_{1}) {\hat{Q}}^{J} (T_{2})} \\ = & \frac{D}{D T_{2}} {θ (T_{1} - T_{2}) {\hat{Q}}^{ich} (T_{1}) {\hat{Q}}^{J} (T_{2}) + θ (T_{2} - T_{1}) {\hat{Q}}^{J} (T_{2}) {\hat{Q}}^{ich} (T_{1})} \\ = & T {{\hat{Q}}^{ich} (T_{1}) {\dot{\hat{Q}}}^{J} (T_{2})} - δ (T_{1} - T_{2}) [{\hat{Q}}^{ich} (T_{1}), {\hat{Q}}^{J} (T_{2})] \\ \overset{(7)}{=} & T {{\hat{Q}}^{ich} (T_{1}) {\dot{\hat{Q}}}^{J} (T_{2})}, \\ T_{C Ö v} {{\dot{\hat{Q}}}^{ich} (T_{1}) {\dot{\hat{Q}}}^{J} (T_{2})} \equiv & \frac{D}{D T_{1}} \frac{D}{D T_{2}} T {{\hat{Q}}^{ich} (T_{1}) {\hat{Q}}^{J} (T_{2})} \\ = & \frac{D}{D T_{1}} T {{\hat{Q}}^{ich} (T_{1}) {\dot{\hat{Q}}}^{J} (T_{2})} \\ = & \frac{D}{D T_{1}} {θ (T_{1} - T_{2}) {\hat{Q}}^{ich} (T_{1}) {\dot{\hat{Q}}}^{J} (T_{2}) + θ (T_{2} - T_{1}) {\dot{\hat{Q}}}^{J} (T_{2}) {\hat{Q}}^{ich} (T_{1})} \\ \overset{(7)}{=} & T {{\dot{\hat{Q}}}^{ich} (T_{1}) {\dot{\hat{Q}}}^{J} (T_{2})} + ich ℏ G^{ich J} 1 δ (T_{1} - T_{2}) . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} T_{\rm cov}\{\hat{q}^i(t_1)\hat{q}^j(t_2)\} ~\equiv~& T\{\hat{q}^i(t_1)\hat{q}^j(t_2)\},\cr T_{\rm cov}\{\hat{q}^i(t_1)\dot{\hat{q}}^j(t_2)\} ~\equiv~&\frac{d}{dt_2} T\{\hat{q}^i(t_1)\hat{q}^j(t_2)\}\cr ~=~&\frac{d}{dt_2}\left\{\theta(t_1\!-\!t_2)\hat{q}^i(t_1)\hat{q}^j(t_2)+ \theta(t_2\!-\!t_1)\hat{q}^j(t_2)\hat{q}^i(t_1)\right\}\cr ~=~&T \{\hat{q}^i(t_1)\dot{\hat{q}}^j(t_2)\} -\delta(t_1\!-\!t_2)[\hat{q}^i(t_1),\hat{q}^j(t_2)]\cr ~\stackrel{(7)}{=}~&T \{\hat{q}^i(t_1)\dot{\hat{q}}^j(t_2)\},\cr T_{\rm cov} \{\dot{\hat{q}}^i(t_1)\dot{\hat{q}}^j(t_2)\} ~\equiv~&\frac{d}{dt_1}\frac{d}{dt_2} T \{\hat{q}^i(t_1)\hat{q}^j(t_2)\}\cr ~=~&\frac{d}{dt_1}T \{\hat{q}^i(t_1)\dot{\hat{q}}^j(t_2)\}\cr ~=~&\frac{d}{dt_1}\left\{\theta(t_1\!-\!t_2)\hat{q}^i(t_1)\dot{\hat{q}}^j(t_2)+ \theta(t_2\!-\!t_1)\dot{\hat{q}}^j(t_2)\hat{q}^i(t_1) \right\} \cr ~\stackrel{(7)}{=}~&T \{\dot{\hat{q}}^i(t_1)\dot{\hat{q}}^j(t_2)\} ~+~\color{red}{i\hbar~ G^{ij} {\bf 1} \delta(t_1\!-\!t_2)}. \end{align}\tag{8}$ Wir haben den nicht-kovarianten Term rot markiert.
Betrachten Sie als nächstes eine Wilson-Linie
$\begin{matrix} (9) & \exp {\frac{ich}{ℏ} \int D T A_{ich} (Q) {\dot{Q}}^{ich}} . \end{matrix}$ $\exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\int\!dt~ A_i(q)\dot{q}^i \right\}. \tag{9}$ Aus dem Satz von Wick , Gl. (8) potenziert zu $\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} T_{C Ö v} \exp & {\frac{ich}{ℏ} \int D T A_{ich} (\hat{Q}) {\dot{\hat{Q}}}^{ich}} \\ \overset{(8)}{=} & \exp {\frac{ich ℏ}{2} \iint D T_{1} D T_{2} G^{ich J} \frac{δ}{δ {\dot{\hat{Q}}}^{ich} (T_{1})} \frac{δ}{δ {\dot{\hat{Q}}}^{J} (T_{2})}} \\ T \exp {\frac{ich}{ℏ} \int D T A_{ich} (\hat{Q}) {\dot{\hat{Q}}}^{ich}} \\ = & T \exp {\frac{ich}{ℏ} \int D T (A_{ich} (\hat{Q}) {\dot{\hat{Q}}}^{ich} - \frac{1}{2} A^{2} (\hat{Q}))} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} T_{\rm cov}\exp & \left\{ \frac{i}{\hbar}\int\!dt~ A_i(\hat{q})\dot{\hat{q}}^i \right\}\cr ~\stackrel{(8)}{=}~&\exp\left\{ \color{red}{ \frac{i\hbar}{2} \iint dt_1 ~dt_2~G^{ij} \frac{\delta}{\delta \dot{\hat{q}}^i(t_1)} \frac{\delta}{\delta \dot{\hat{q}}^j(t_2)} }\right\}\cr &\qquad T\exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\int\!dt~ A_i(\hat{q})\dot{\hat{q}}^i \right\}\cr ~=~&T\exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\int\!dt\left( A_i(\hat{q})\dot{\hat{q}}^i -\color{red}{\frac{1}{2} A^2(\hat{q})} \right)\right\} .\end{align} \tag{10}$
Die Standardableitung $^2$ der Hamiltonschen Phasenraumpfad-Integral/Partitionsfunktion aus dem Operatorformalismus im Heisenberg-Bild geht so
$\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} Z_{H} \sim & _{H} ⟨ Q_{F}, T_{F} | Q_{ich}, T_{ich} ⟩_{H} \\ = & _{H} ⟨ Q_{F}, 0 | T_{C Ö v} \exp {- \frac{ich}{ℏ} \int_{T_{ich}}^{T_{F}} D T H (\hat{Q}, \hat{P})} | Q_{ich}, 0 ⟩_{H} \\ = & _{H} ⟨ Q_{F}, 0 | T \exp {- \frac{ich}{ℏ} \int_{T_{ich}}^{T_{F}} D T H (\hat{Q}, \hat{P})} | Q_{ich}, 0 ⟩_{H} \\ = & \int_{Q (T_{ich}) = Q_{ich}}^{Q (T_{F}) = Q_{F}} D Q D P \exp {\frac{ich}{ℏ} S_{H} [Q, P]} \\ \overset{Gauß. int.}{\sim} & \int_{Q (T_{ich}) = Q_{ich}}^{Q (T_{F}) = Q_{F}} D Q D e T (G_{ich J})^{1 / 2} \exp {\frac{ich}{ℏ} S [Q]} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} Z_H~\sim~~~&{}_H\langle Q_f,t_f |Q_i,t_i\rangle_H \cr ~=~~~&{}_H\langle Q_f,0| T_{\rm cov} \exp\left\{ - \frac{i}{\hbar}\int_{t_i}^{t_f}\!dt~ H(\hat{Q},\hat{P})\right\} |Q_i,0\rangle_H \cr ~=~~~&{}_H\langle Q_f,0| T \exp\left\{ - \frac{i}{\hbar}\int_{t_i}^{t_f}\!dt~ H(\hat{Q},\hat{P})\right\} |Q_i,0\rangle_H \cr ~=~~~&\int_{Q(t_i)=Q_i}^{Q(t_f)=Q_f}\! {\cal D}Q~{\cal D}P~\exp\left\{ \frac{i}{\hbar}S_H[Q,P]\right\}\cr \stackrel{\text{Gauss. int.}}{\sim}&\int_{Q(t_i)=Q_i}^{Q(t_f)=Q_f}\! {\cal D}Q~ {\rm Det}(G_{ij})^{1/2} \exp\left\{ \frac{i}{\hbar} S[Q]\right\} . \end{align} \tag{11}$
Im Interaktionsbild haben wir $^3$
$\begin{matrix} (12) & \begin{aligned} Z_{H} \sim & _{H} ⟨ q_{f}, 0 | T_{c o v} \exp {- \frac{i}{ℏ} \int d t H_{i n t} (\hat{q}, \hat{p})} | q_{i}, 0 ⟩_{H} \\ = & _{H} ⟨ q_{f}, 0 | T \exp {- \frac{i}{ℏ} \int d t H_{i n t} (\hat{q}, \hat{p})} | q_{i}, 0 ⟩_{H} \\ \overset{(5)}{=} & _{H} ⟨ q_{f}, 0 | T \exp {- \frac{i}{ℏ} \int d t H_{i n t} (\hat{q}, G \dot{\hat{q}})} | q_{i}, 0 ⟩_{H} \\ \overset{(6)}{=} & _{H} ⟨ q_{f}, 0 | T \exp {\frac{i}{ℏ} \int d t (L_{i n t} (\hat{q}, \dot{\hat{q}}) - \frac{1}{2} A^{2} (\hat{q}))} | q_{i}, 0 ⟩_{H} \\ \overset{(10)}{=} & _{H} ⟨ q_{f}, 0 | T_{c o v} \exp {\frac{i}{ℏ} \int d t L_{i n t} (\hat{q}, \dot{\hat{q}})} | q_{i}, 0 ⟩_{H} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} Z_H~\sim~& {}_H\langle q_f,0| T_{\rm cov} \exp\left\{ - \frac{i}{\hbar}\int\!dt~ H_{\rm int}(\hat{q},\hat{p})\right\}|q_i,0\rangle_H \cr ~=~&{}_H\langle q_f,0| T \exp\left\{ - \frac{i}{\hbar}\int\!dt~ H_{\rm int}(\hat{q},\hat{p})\right\}|q_i,0\rangle_H \cr ~\stackrel{(5)}{=}~&{}_H\langle q_f,0| T \exp\left\{ - \frac{i}{\hbar}\int\!dt~ H_{\rm int}(\hat{q},G\dot{\hat{q}})\right\}|q_i,0\rangle_H \cr ~\stackrel{(6)}{=}~&{}_H\langle q_f,0| T \exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\int\!dt\left( L_{\rm int}(\hat{q},\dot{\hat{q}})-\color{red}{\frac{1}{2} A^2(\hat{q})} \right)\right\}|q_i,0\rangle_H \cr ~\stackrel{(10)}{=}~&{}_H\langle q_f,0| T_{\rm cov} \exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\int\!dt~ L_{\rm int}(\hat{q},\dot{\hat{q}})\right\}|q_i,0\rangle_H .\end{align}\tag{12}$ We find that two effects cancel each other, the non-covariant term in the interaction Hamiltonian (6) and the Wick's theorem (10), so that the partition function (12) is Lorentz covariant. This is the main answer to OP's question.
We suggest for completeness an interaction picture phase space path integral
$\begin{matrix} (13) & \begin{aligned} Z_{H} \overset{(12)}{\sim} & \int_{q (t_{i}) = q_{i}}^{q (t_{f}) = q_{f}} D q D p \\ \exp {\frac{i}{ℏ} S_{H, 0} [q, p] + \frac{i}{ℏ} \int_{t_{i}}^{t_{f}} d t (- \frac{1}{2} {\dot{q}}^{2} + L_{i n t} (\hat{q}, \dot{\hat{q}}))} \\ \overset{Gauss. int.}{\sim} & \int_{q (t_{i}) = q_{i}}^{q (t_{f}) = q_{f}} D q D e t (G_{i j})^{1 / 2} \exp {\frac{i}{ℏ} \int_{t_{i}}^{t_{f}} d t L_{i n t} (\hat{q}, \dot{\hat{q}})} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} Z_H~\stackrel{(12)}{\sim}~~~& \int_{q(t_i)=q_i}^{q(t_f)=q_f}\! {\cal D}q~{\cal D}p~\cr &\exp\left\{ \frac{i}{\hbar} S_{H,0}[q,p] +\frac{i}{\hbar}\int_{t_i}^{t_f}\!dt \left(-\frac{1}{2}\dot{q}^2 + L_{\rm int}(\hat{q},\dot{\hat{q}}) \right)\right\}\cr ~\stackrel{\text{Gauss. int.}}{\sim}& \int_{q(t_i)=q_i}^{q(t_f)=q_f}\! {\cal D}q~ {\rm Det}(G_{ij})^{1/2} \exp\left\{ \frac{i}{\hbar} \int_{t_i}^{t_f}\!dt~ L_{\rm int}(\hat{q},\dot{\hat{q}}) \right\}. \end{align}\tag{13}$
The naive Lagrangian path integral
$\begin{matrix} (14) & Z_{L} \sim \int_{Q (t_{i}) = Q_{i}}^{Q (t_{f}) = Q_{f}} D Q \exp {\frac{i}{ℏ} S [Q]} \end{matrix}$ $Z_L~\sim~\int_{Q(t_i)=Q_i}^{Q(t_f)=Q_f}\! {\cal D}Q~ \exp\left\{ \frac{i}{\hbar} S[Q]\right\} \tag{14}$ may differ from the Hamiltonian phase space path integral (11) because it lacks the determinant from the Gaussian integration over momenta $P_j$ . In practice, it is often implicitly implied that the path integral measure ${\cal D}Q$ in eq. (14) contains this determinant factor by definition. In other words, the definition of $Z_L$ is tweaked to agree with $Z_H$ . See also this related Phys.SE post.

References:

M.D. Schwartz, QFT and the Standard Model, 2014; Section 9.2.
C. Itzykson & J.B. Zuber, QFT, 1985; Subsection 6-1-4.
S. Weinberg, Quantum Theory of Fields, Vol. 1, 1995; Sections 7.2, 7.5 & 9.3.
M. Srednicki, QFT, 2007; Chapter 6. A prepublication draft PDF file is available here.

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$^1$ Notation: We will suppress spatial (but not temporal) dimensions by using DeWitt condensed notation. Capital letters for fields in the Heisenberg picture and small letters for fields in the interaction picture. The metric $G_{ij}(Q)$ in configuration space should not be confused with the space(time) metric.

$^2$ There is a usual story on how to wash out instantaneous eigenstates and replace them with a vacuum state, which we will not repeat here, see e.g. Ref. 4.

$^3$ Es sollte betont werden, dass die Ableitung hier formal & schamlos auf den rot markierten nicht-kovarianten Term fokussiert ist. Wir haben verschiedene Operatorordnungsprobleme höherer Ordnung ignoriert, vgl. zB this & this Phys.SE Beiträge.

Zusätzliche Referenzen: 5. LH Ryder, QFT, 2. Aufl., 1996; Abschnitt 5.5.

Ableitungswechselwirkung: Hinweis≠−LintHint≠−Lint\mathcal{H}_\mathrm{int}\neq - \mathcal{L}_\mathrm{int}. Frage zu den Feynman-Regeln

Benutzer153663

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