Was ist die Einschränkung für das Eichpotential in den kovarianten Eichungen?

I) Die unkalibrierte QED-Lagrange-Dichte wird abgelesen

$${\cal L}_0~:=~-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + \bar{\psi}(i\gamma^{\mu}D_{\mu} -m)\psi.\tag{1}$$ Die eichfixierte QED-Lagrange-Dichte in der$R_{\xi}$-Gauge liest

$${\cal L}~=~ {\cal L}_0 +{\cal L}_{FP}-\frac{1}{2\xi}\chi^2 , \tag{2}$$

wo der Begriff Faddeev-Popov steht

$${\cal L}_{FP}~=~ -d_{\mu}\bar{c}~d^{\mu}c, \tag{3}$$

Und

$$\chi~:=~d_{\mu}A^{\mu}~\approx~0 \tag{4}$$

ist die Fixierungsbedingung der Lorenzlehre .

II) Im Weg integral mit$R_{\xi}$-Eichfixierung, wird die Lorenz-Eichfixierungsbedingung (4) nur im quantenmittleren Sinne auferlegt. Im Allgemeinen kann die Fixierungsbedingung der Lorenz-Eichung durch Quantenfluktuationen verletzt werden, außer in der Landau-Eichung$\xi=0^+$, wo solche Quantenfluktuationen exponentiell unterdrückt werden (im Wick-rotierten euklidischen Pfadintegral).

III) Wenn wir ein Lautrup-Nakanishi-Hilfsfeld einführen$B$, die QED-Lagrange-Dichte in der$R_{\xi}$-Gauge liest

$${\cal L}~=~ {\cal L}_0 +{\cal \cal L}_{FP} +\frac{\xi}{2}B^2+B\chi \quad\stackrel{\text{int. out } B}{\longrightarrow}\quad {\cal L}_0 +{\cal L}_{FP}-\frac{1}{2\xi}\chi^2 ,\tag{5}$$

vgl. dieser verwandte Phys.SE-Beitrag. Die Euler-Lagrange-Gleichung für die$B$-Feld liest

$$-\xi B~\approx~\chi.\tag{6}$$

Da gibt es keine ein- und ausgehenden externen$B$-Partikel, kann man argumentieren, dass die$B$-Feld ist klassisch Null, und damit die Lorenz-Bedingung$\chi\approx 0$wird klassisch auferlegt, vgl. Gl. (6), unabhängig vom Wert des Eichparameters$\xi$. Quantenmechanisch z$\xi>0$, die Gl. (4) gilt nur im Durchschnitt, wie oben erläutert.