Frage zur Faddeev-Popov-Methode zur Messgerätefixierung

Das Pfadintegral und die Observablen sind unabhängig$^1$des Messgerät-Befestigungszustands. Vielleicht ist ein einfaches Spielzeugbeispiel angebracht:

• Spielzeugbeispiel: Stellen Sie sich eine Handlung vor$S_0$das hängt nicht von der Variable ab$x$. Mit anderen Worten,$x$ist eine Eichvariable. Lassen$f(x)\approx 0$eine messgerätefixierende Bedingung sein. Hier die Spurhaltefunktion$f$wird angenommen, zur Klasse der differenzierbaren, monoton steigenden Funktionen mit einfacher Nullstelle zu gehören.

  Betrachten Sie die volle Spur-fixierte Aktion

  $$S~=~S_0 + S_{FP} + S_{gf}, \qquad S_{FP} ~=~ c f^{\prime}(x) \bar{c}, \qquad S_{gf} ~=~ \lambda f(x), \tag{1}$$ Wo$c$Und$\bar{c}$ein Grassmann-ungerades Faddeev-Popov-Geist bzw. Anti-Geist sind und wo$\lambda$ist ein Lagrange-Multiplikator.

  Das Spielzeugwegintegral

  $$\begin{align} Z_f&~=~ \int \! dx ~d\bar{c}~dc~d\lambda~\exp\left(\frac{i}{\hbar}S \right) \cr &~\stackrel{(1)}{=}~\int \! dx ~\exp\left(\frac{i}{\hbar}S_0 \right)~\cdot~\frac{i}{\hbar}f^{\prime}(x)~\cdot~2\pi\hbar\delta(f(x))\cr &~=~\int \! dx ~\exp\left(\frac{i}{\hbar}S_0 \right)~2\pi i~\delta(x-x_0)\cr &~=~ 2\pi i\exp\left(\frac{i}{\hbar}S_0 \right)\end{align}\tag{2}$$ hängt nicht von der Lehrenbefestigungsfunktion ab$f$innerhalb der oben genannten Klasse! In Gl. (2) Wir haben das Berezin-Integral verwendet$\int dc~c=1$und die Fourier-Darstellung der Dirac-Delta-Verteilung .

  Siehe z. B. diesen Phys.SE-Beitrag für ein weiteres einfaches Spielzeugbeispiel.

Für eine systematischere Erörterung der Unabhängigkeit der Wahl der Messgerätefixierung aus einer BRST-Perspektive siehe zB diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.

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$^1$In dieser Antwort überspringen wir diverse technische Kleingedrucktes, wie z. B. topologische Hindernisse etc.

Die Logik in Ihrer Antwort gibt das Faddeev-Popov-Verfahren etwas rückwärts an. Es sollte sein:

• Da das Pfadintegral über verschiedene physikalische Zustände integriert, wird die Theorie durch ein Pfadintegral über Eich-inäquivalente Konfigurationen des Eichfelds definiert,$Z = \int \mathcal{D}A' e^{iS}$
• Dieses Integral ist schwierig, weil der Raum eichunäquivalenter Konfigurationen kompliziert ist.
• In der Faddeev-Popov-Prozedur „multiplizieren wir mit 1“, um das Pfadintegral in umzuwandeln$Z = \int \mathcal{D} A\, e^{iS'}$, wo die Maßnahme$\mathcal{D} A$verhält sich formal wie ein nicht-eichfähiges Feld, integriert redundant über eichäquivalente Konfigurationen und ist daher einfacher zu handhaben.
• Dabei greift die Aktion zusätzliche „Geister“- und „Gauge-Fixing“-Begriffe auf,$S' = S + S_{\text{gf}} + S_{\text{gh}}$.

Unabhängig von der Befestigungsbedingung des Messgeräts berechnen wir von Anfang an genau das Gleiche, daher muss das Ergebnis unabhängig vom Befestigungsverfahren des Messgeräts sein.

Eine gewisse Verwirrung ist jedoch verständlich, da in einer ersten QFT-Klasse die Logik oft nicht vorhanden ist. Typischerweise würde man feststellen, dass die kanonische Quantisierung für die QED-Lagrange-Funktion nicht funktioniert, dann der Lagrange-Funktion künstlich einen Begriff zur „Eichweitenfixierung“ hinzufügen und kommentarlos fortfahren. In diesem Fall muss zwar begründet werden, dass die Ergebnisse unabhängig von der Begrenzungslinie sind. Das Faddeev-Popov-Verfahren ist genau diese Rechtfertigung.