Können wir für die Fixierung der Faddeev-Popov-Eichweite ein anderes als das gaußsche Integral wählen?

für$U(1)$Feld$A_\mu$und seine Längsspurkomponente$\partial_\mu \alpha(x)$, Faddeev-Popov-Messgerätfixierung in Peskin (Gl. 9.56) ist:

$$N(\xi)\int \mathcal{D}\omega\hspace{0.1cm}\text{exp}\left[-i\int d^4x \frac{\omega^2}{2\xi}\right]\text{det}\left(\frac{1}{e}\partial^2\right)\left(\int \mathcal{D}\alpha\right)\int\mathcal{D}Ae^{iS[A]}\delta(\partial^\mu A_\mu -\omega(x))\\ =N(\xi)\text{det}\left(\frac{1}{e} \partial^2\right)\left(\int\mathcal{D}\alpha\right)\int\mathcal(A)e^{iS[A]}\text{exp}\left[-i\int d^4x\frac{1}{2\xi}(\partial^\mu A_\mu)^2\right]. \tag{9.56}$$

Diese Gleichung folgt aus

$$\int\mathcal{D}A e^{iS[A]}=\text{det}\left(\frac{1}{e}\partial^2\right)\left(\int\mathcal{D}\alpha\right)\int\mathcal{D}A e^{iS[A]}\delta(\partial^\mu A_\mu-\omega(x)) \tag{9.55b}$$ Wo $N(\xi)$ist der Normalisierungsfaktor.

ich denke, dass

$$N(\xi)\int \mathcal{D}\omega\hspace{0.1cm}\text{exp}\left[-i\int d^4x \frac{\omega^2}{2\xi}\right]=1$$ rechtfertigt Äquivalenz der 2. Gleichung und Gl.9.56 (erste Zeile in Gl.9.56).

1. Wenn es wahr ist, können wir irgendein funktionales Integral (zB$N(\xi)\int \mathcal{D}\omega\hspace{0.1cm} f[\omega]$), Wo$f[\omega]$ist beschränkt und pfadintegrierbar) anstelle von Gauß (dh$\int \mathcal{D}\omega\hspace{0.1cm}\text{exp}\left[-i\int d^4x \frac{\omega^2}{2\xi}\right]$) und teilen Sie es durch seinen Wert, um es zu normalisieren (wie$N(\xi)$im oben verwendeten Gaußschen Integral)?

2. Gibt es einen besonderen Grund für die Wahl?$f[\omega]=\text{exp}\left[-i\int d^4x \frac{\omega^2}{2\xi}\right]$?

3. Und wenn ich nehme$f[\omega]$anders als$\exp\left[-i\int d^4x \frac{\omega^2}{2\xi}\right]$, dann Messgerät-Befestigungsterm in der 2. Zeile von Gl.9.56 (d. h$\exp\left[-i\int d^4x \frac{(\partial^\mu A_\mu)^2}{2\xi}\right]$wird in eine andere Form geändert ($f[\partial^\mu A_\mu])$und wird verschiedene Propagatoren geben. In diesem Fall, obwohl ich einen Propagator mit einer anderen Form habe, wird meine endgültige Antwort ein S-Matrix-Element sein, von dem unabhängig sein sollte$\xi$derselbe Fall wie bei der Gaußschen Integration sein?