Ist die Geisterzahl eine physikalische Realität / beobachtbar?

Dies ist eher ein temperamentvoller als ein körperlicher Unterschied, aber ich habe das Gefühl, dass diese Frage eine Antwort mit viel weniger Formalismus verdient als das, was Urs verwendet. Der physikalische Punkt, den Sie nie aus den Augen verlieren sollten, ist, dass Eichsymmetrien überhaupt keine Symmetrien sind: Sie bilden nicht einen Zustand auf einen anderen ab, sondern identifizieren a priori verschiedene Zustände als nur einen physikalischen Zustand. Tatsächlich haben Sie einen viel größeren Zustandsraum genommen und ihn dann durch die Messgerättransformationen modifiziert; Danach ist kein Überbleibsel der ursprünglichen Messgerätegruppe wirklich physisch. Also schon wenn man eine Lagrangedichte in Bezug auf Freiheitsgrade schreibt wie$A_\mu$, Sie überzählen die Anzahl der Freiheitsgrade erheblich. Sie tun dies, weil es die Theorie offensichtlich lokal macht. Aber Sie sollten immer daran denken, dass die realen physikalischen Observablen nur die eichinvarianten Objekte sind, und dass Sie diese Objekte identifizieren können, ohne ein Eichmaß zu fixieren oder überhaupt den BRST-Formalismus zu verwenden. Wenn Sie Geister einführen, reparieren Sie im Grunde nur ein Messgerät auf ziemlich komplizierte Weise. Weder die Geisterfelder noch die$A_\mu$Felder sind physikalisch, und obwohl sie praktische Berechnungswerkzeuge sein können, sollten Sie sie nie zu ernst nehmen, oder Sie riskieren, die Physik im Austausch für willkürliche Entscheidungen, die Sie getroffen haben, aus den Augen zu verlieren.

Das Mysterium hier sollte verschwinden, sobald man erkennt, dass der BRST-Komplex – als dg-Algebra – das formale Dual zu einem Raum ist, nämlich zu dem "homotopisch reduzierten" Phasenraum.

Für gewöhnliche Algebren ist dies geläufiger: die Algebra der Funktionen$\mathcal{O}(X)$auf etwas Platz$X$ist das „ formale duale “ an$X$, in diesen Karten$f : X \to Y$entsprechen Morphismen von Algebren umgekehrt$f^* : \mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X)$.

Nun, wenn$X$ein Phasenraum ist, dann ist ein Observable einfach eine Karte$A : X \to \mathbb{A}$. Dual ist dies ein Morphismus von Algebren$A^* : \mathcal{O}(\mathbb{A}) \to \mathcal{O}(X)$. Seit$\mathcal{O}(\mathbb{A})$Ist die Algebra auf einem Generator frei, findet man wieder, dass eine Observable nur ein Element von ist$\mathcal{O}(X)$.

(All dies gilt in glatter Geometrie mit entsprechend interpretierten Symbolen.)

Der einzige Unterschied besteht nun darin, dass der BRST-Komplex nicht nur eine Algebra, sondern eine dg-Algebra ist. Es ist daher das formale Dual zu einem Raum in „ höherer Geometrie “ (speziell: in dg-Geometrie ). Konkret ist der BRST-Komplex die Algebra von Funktionen auf dem Lie-Algebroid , das die infinitesimale Annäherung an das Lie-Gruppoid ist, dessen Objekte Feldkonfigurationen sind und dessen Morphismen Eichtransformationen sind. Dieses Lie-Gruppoid ist ein "schwacher" Quotient von Feldern durch Symmetrien und ist daher ein Modell für den reduzierten Phasenraum.

Das bedeutet also, dass ein Observable auf dem Raum formal dual zu einem BRST-Komplex ist$V^\bullet$ist ein dg-Algebra-Homomorphismus$A^* : \mathcal{O}(\mathbb{A}) \to V^\bullet$. Hier links haben wir nun die dg-Algebra, die als Algebra frei ist auf einem einzigen Generator, der a) im Grad 0 ist und b) dessen Differential 0 ist. Also solche dg-Morphismen$A^*$Wählen Sie genau ein Element des BRST-Komplexes aus, das a) Grad 0 und b) BRST-geschlossen ist.

Auf diese Weise gewinnt man die Definition von Observablen als BRST-geschlossene Elemente im Grad 0 zurück. Mit anderen Worten, die Elemente höheren Geistergrades sind keine Observablen.