Wie bekomme ich das iϵiϵi\epsilon-Rezept für einen Faddeev-Popov-Geisterverbreiter?

Question

Wie bekomme ich das iϵiϵi\epsilon-Rezept für einen Faddeev-Popov-Geisterverbreiter?

brst
Geister
Physik
Eichtheorie
Regulierung
Quantenfeldtheorie

Jia Yiyang

Im Pfadintegralformalismus wird es für ein physikalisches Feld ein geben $i\epsilon$ Term in der Aktion, die aus der Identifizierung des Ein- und Aus-Vakuums und wiederum aus diesem hervorgeht $i\epsilon$ erscheint natürlich im Nenner des entsprechenden Propagators. Für FP-Ghost wird es jedoch nur eingeführt, um die funktionale Determinante in einer exponentiellen Form umzuschreiben, und die Frage der Identifizierung eines Ein- und Ausgangs-Geistervakuums tritt nie in das Bild ein, also nein $i\epsilon$ Begriff im Geisterteil der Aktion. Aber alle Geisterverbreiter, die ich gesehen habe, haben eine $i\epsilon$ im Nenner, also woher kommt es?

Wille

Der

i ϵ

$i\epsilon$ Das Rezept scheint nicht davon abzuhängen, von welchem Vermehrer Sie sprechen. Es wird natürlich bei der Berechnung des freien Feynman-Propagators für ein beliebiges Feld eingeführt. Wir müssen uns überhaupt nicht auf In- und Out-Zustände beziehen. Es entsteht beim Schreiben (Beispiel Skalarfeld)

⟨ 0 | T {ϕ_{1} (x) ϕ_{2} (y)} | 0 ⟩

$\langle 0 |T\{ \phi_1(x) \phi_2(y) \}| 0\rangle$ als Fourier-Transformation des Impulsraums resultieren. Das heißt, Sie berechnen im Positionsraum und ordnen es neu an, um es in die Form zu bringen

\int \frac{d^{4} k}{(2 π)^{4}} (p r o p a g a t o r)

$\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} (propagator)$ .

Wille

Worauf ich mich beziehe, gilt für den Operator-Ansatz für QFT - ich bin mir nicht sicher, wie Sie darauf kommen

i ϵ

$i\epsilon$ im Pfadintegral, aber da es sich um äquivalente Methoden handelt, sollten Sie irgendwie das gleiche Ergebnis erzielen können? Das scheint ein lustiges kleines Paradoxon zu sein.

Prahar

@Will - Im Path Integral-Ansatz erhalten Sie tatsächlich das

i ϵ

$i \epsilon$ Rezept als Beitrag aus den In- und Out-Staaten. Die beiden Methoden sind gleichwertig und daher sollten wir in der Lage sein, die abzuleiten

i ϵ

$i \epsilon$ Rezept für die Geister, ohne überhaupt den Operator-Ansatz aufrufen zu müssen, richtig?

Wille

@Prahar das Problem des OP ist, dass es keine Geister-Ein- und Aus-Zustände geben sollte. Nun, zumindest denke ich, dass das Problem ist?

Wille

(Weil sie keine physikalischen Teilchen sind).

Wille

Hmmm ... selbst beim Operator-Ansatz gehen wir davon aus, dass die Geister in der freien Theorie In- und Out-Zustände sind . Es scheint, dass sie nur so das bekommen

i ϵ

$i\epsilon$ Begriff ist, dies zu tun, aber die Einschränkung zu machen, dass Geister im vollen Vakuum niemals In- und Out-Zustände sind (dh sie nicht als externe Zustände verwenden). Können sich andere dazu äußern?

Diego Mazon

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Der $i\epsilon$ Das Rezept scheint nicht davon abzuhängen, von welchem Vermehrer Sie sprechen. Es wird natürlich bei der Berechnung des freien Feynman-Propagators für ein beliebiges Feld eingeführt. Wir müssen uns überhaupt nicht auf In- und Out-Zustände beziehen. Es entsteht beim Schreiben (Beispiel Skalarfeld) $\langle 0 |T\{ \phi_1(x) \phi_2(y) \}| 0\rangle$ als Fourier-Transformation des Impulsraums resultieren. Das heißt, Sie berechnen im Positionsraum und ordnen es neu an, um es in die Form zu bringen $\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} (propagator)$ .
Worauf ich mich beziehe, gilt für den Operator-Ansatz für QFT - ich bin mir nicht sicher, wie Sie darauf kommen $i\epsilon$ im Pfadintegral, aber da es sich um äquivalente Methoden handelt, sollten Sie irgendwie das gleiche Ergebnis erzielen können? Das scheint ein lustiges kleines Paradoxon zu sein.
@Will - Im Path Integral-Ansatz erhalten Sie tatsächlich das $i \epsilon$ Rezept als Beitrag aus den In- und Out-Staaten. Die beiden Methoden sind gleichwertig und daher sollten wir in der Lage sein, die abzuleiten $i \epsilon$ Rezept für die Geister, ohne überhaupt den Operator-Ansatz aufrufen zu müssen, richtig?
@Prahar das Problem des OP ist, dass es keine Geister-Ein- und Aus-Zustände geben sollte. Nun, zumindest denke ich, dass das Problem ist?
Hmmm ... selbst beim Operator-Ansatz gehen wir davon aus, dass die Geister in der freien Theorie In- und Out-Zustände sind . Es scheint, dass sie nur so das bekommen $i\epsilon$ Begriff ist, dies zu tun, aber die Einschränkung zu machen, dass Geister im vollen Vakuum niemals In- und Out-Zustände sind (dh sie nicht als externe Zustände verwenden). Können sich andere dazu äußern?

Trimok · Answer 1

Trimok

Bosonische Pfadintegrale:

Z = \int D ϕ e^{- ich \int D X [\frac{1}{2} ϕ (◻ + M^{2}) ϕ]}

$Z = \int D\phi ~e^{-i \large \int ~ dx [\frac{1}{2}\phi (\square+m^2)\phi]}$

oder femionische Pfadintegrale (wie Fadeev-Popov-Geister):

Z = \int D η D \tilde{η} e^{- ich \int D X [{\tilde{η}}^{A} ◻ η^{A}]}

$Z = \int D\eta D \tilde \eta ~e^{-i \large \int ~ dx [\tilde \eta^a \square \eta^a]}$

sind aufgrund des Vorhandenseins der imaginären Einheit in der Exponentialfunktion mathematisch nicht genau definiert.

Um die Konvergenz und Bedeutung dieser Ausdrücke sicherzustellen, lautet die Vorschrift:

◻ + M^{2} \to ◻ + M^{2} - ich ϵ

$\square + m^2 \rightarrow \square + m^2 - i\epsilon$ Wenn

m = 0

$m=0$ , dies gibt einfach das Rezept :

◻ \to ◻ - ich ϵ

$\square \rightarrow \square - i\epsilon$

Offensichtlich ergibt sich die Form der Propagatoren direkt aus dieser Vorschrift.

Wille

Ah!!! Ich hatte das gerade herausgefunden und war dabei, meine Lösung zu schreiben. :) +1

Prahar

Ich denke nicht, dass das richtig ist. Es stimmt zwar, dass die

i ϵ

$i \epsilon$ Vorschriften stellen die Konvergenz sicher, sie werden nicht ad hoc eingeführt, nur um die Konvergenz sicherzustellen. Tatsächlich liefern die In- und Out-Zustände genau den zusätzlichen Beitrag von

+ i ϵ

$+i \epsilon$ was am Ende alles zum Laufen bringt. Nun, wenn man das Geisterwegintegral macht, ist nicht klar, wo ein ähnlicher Beitrag von ist

+ i ϵ

$+i \epsilon$ kommen sollte, da man keine In- und Out-Geisterzustände hat. Mein Argument dafür war, dass wir zwar In- und Out-Geisterzustände haben, aber dass sie zu keinen physikalischen Amplituden beitragen. Jeglicher Kommentar?

Wille

Ach nein! Dies scheint auf den ersten Blick richtig zu sein, aber ich stimme Prahar dahingehend zu, dass Sie effektiv In- und Out-Zustände verwenden, um dies zu erreichen

i ϵ

$i\epsilon$ Vorschrift, wie sie durch das Pfadintegral definiert ist. Ich denke, eine genaue Antwort erfordert eine sorgfältige Ableitung von Grund auf, beginnend mit der Methode FP-Messgerätfixierung.

Trimok

@Prahar: "Obwohl es stimmt, dass die iϵ-Vorschrift Konvergenz sicherstellt, wird sie nicht ad hoc eingeführt, nur um Konvergenz sicherzustellen." Überhaupt nicht, gerade dies soll die Konvergenz gewährleisten

i ϵ

$i\epsilon$ Rezept wird eingeführt. Ohne das wäre die Kohärenz von QFT einfach falsch. Dies ist der gleiche Trick wie die Wick-Rotation, die Sie zu einer euklidischen Aktion bringt

S_{E}

$S_E$ was positiv sein muss.

Prahar

@Trimok - Ich stimme zu, dass die

i ϵ

$i\epsilon$ Eine Vorschrift ist erforderlich, damit das Pfadintegral konvergiert. Das bestreite ich nicht. Darüber hinaus ist eine Dochtdrehung zu einer euklidischen Aktion auch nur aufgrund des Vorhandenseins von möglich

i ϵ

$i\epsilon$ . Allerdings glaube ich nicht, dass es "von Hand" eingeführt wird. Sie folgt aus der Ableitung des Wegintegrals aus dem Operatorformalismus. Es ist die Zeitbestellung auf der Bedienerseite, die uns genau sagt, welches Rezept

i ϵ

$i\epsilon$ zu verwenden und eine Ableitung dieser Vorschrift erfolgen kann. Also keine Ad-hoc-Einführung von

i ϵ

$i\epsilon$ erforderlich.

Prahar

@Trimok - Tatsächlich denke ich, dass dies genau die OP-Frage ist. Während

i ϵ

$i\epsilon$ Rezept für übliche Felder abgeleitet werden kann, scheint es natürlich zu sein, wenn man das FP-Verfahren verwendet. Entweder wir passen nicht auf oder es muss diesmal von Hand eingeführt werden. Die zweite Option klingt für mich nicht ansprechend. Aber vielleicht ist es das, was getan werden muss. Beachten Sie, dass man die Theorie oft unter Verwendung des geeichten festen Pfadintegrals DEFINIERT (mit dem korrekten

i ϵ

$i\epsilon$ Rezept) ohne Bezug auf die ursprüngliche Handlung. In diesem Fall stellt sich diese Frage nicht.

Jia Yiyang

@Trimok: Prahar versteht mich richtig. Außerdem bin ich etwas skeptisch gegenüber Konvergenzargumenten, für bosonische Felder natürlich kein Problem, aber für Grassman-Felder bin ich mir nicht sicher, wie man Konvergenz definiert.

Trimok

@JiaYiyang: Der Verbreiter für Geister ist

◻^{- 1}

$\square^{-1}$ , während es ist

(◻ + m^{2})^{- 1}

$(\square + m^2)^{-1}$ für ein Skalarfeld, also ist es die gleiche Art von Problem.

Trimok

@Prahar: Der Pfadintegralformalismus ist der grundlegendere, obwohl es stimmt, dass der Operatorformalismus in vielen Fällen praktischer ist. Die Präsentation von Zee (Quantenfeldtheorie in Kürze) ist sehr klar und sehr beeindruckend.

Jia Yiyang

@Trimok: Ich dachte, Sie sprachen über die Konvergenz des Gaußschen Integrals, aber wenn Sie über die Konvergenz des Propagators sprachen, dann beides

{(◻ + i ϵ)}^{- 1}

${(\square+i\epsilon)}^{-1}$ Und

{(◻ - i ϵ)}^{- 1}

${(\square-i\epsilon)}^{-1}$ sehen für mich gleichermaßen gültig aus.

Trimok

@JiaYiyang: Es ist nicht dasselbe, siehe Feyman-Propagatoren , denn die Idee ist, eine Wick-Rotation durchführen zu dürfen, also wenn Sie die Wick-Rotation als eine Rotation mit einem positiven Winkel definieren

90 °

$90°$ , es ist mit dem Rezept möglich, das ich gegeben habe. Mit dem anderen Rezept stecken Sie fest.

Jia Yiyang

@Trimok: Lassen Sie es mich so sagen: Was ist der Grund für die Durchführung einer Wick-Rotation? Gilt der gleiche Grund für Geisterfelder?

Trimok

In der Tat, das Rezept

- i ϵ

$-i\epsilon$ erlauben eine Wick-Rotation, und eine Wick-Rotation entspricht euklidischen Pfadintegralen:

Z = \int D ϕ e^{- \int d x [\frac{1}{2} ϕ (P_{0}^{2} + {\vec{P}}^{2} + m^{2}) ϕ]}

$Z = \int D\phi ~e^{- \large \int ~ dx [\frac{1}{2}\phi (P_0^2+\vec P^2+m^2)\phi]}$ Und

Z = \int D η D \tilde{η} e^{- \int d x [{\tilde{η}}^{a} (P_{0}^{2} + {\vec{P}}^{2}) + η^{a}]}

$Z = \int D\eta D \tilde \eta ~e^{- \large \int ~ dx [\tilde \eta^a (P_0^2+\vec P^2)+ \eta^a]}$ , Wo

P_{0}, \vec{P}

$P_0, \vec P$ sind Operatoren.

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