Wie helfen Faddeev-Popov (FP)-Geister Pfadintegralen?

Die Geister werden nicht so sehr eingefügt, als dass sie natürlich entstehen. Das Pfadintegral einer naiv definierten Eichtheorie wird über alle Felder integrieren, einschließlich derjenigen, die durch eine Eichsymmetrie zusammenhängen, die von der Theorie als äquivalent angesehen werden.

Das Faddeev-Popov-Verfahren stellt ein Mittel bereit, um unsere Integration auf physikalisch unterschiedliche Konfigurationen und solche über Orbits aufzuteilen. Betrachten Sie den Fall der nicht-Abelschen Eichtheorie mit

$$\int \mathcal D[A] \exp \left[i \int d^4x \left( -\frac14 (F^a_{\mu\nu})^2\right) \right].$$

Um nur über physikalisch unterschiedliche Konfigurationen zu integrieren, müssen wir das Integral durch ein Eichfixierungsverfahren einschränken,$G(A) = 0$Im Algemeinen. Reparieren$G(A) = 0$, können wir eine Delta-Funktion verwenden, aber dazu müssen wir den entsprechenden Jacobi-Faktor berücksichtigen, also ist die Identität,

$$1= \int D[\alpha(x)] \delta(G(A^\alpha)) \det \frac{\delta G(A^\alpha)}{\delta \alpha}$$

Wo$A^\alpha$ist das Feld transformiert, d.h.$(A^\alpha)^a_\mu = A^a_\mu + g^{-1}D_\mu \alpha^a$. Wir haben dann das Pfadintegral,

$$\int \mathcal D[A] \, e^{iS[A]} = \left(\int \mathcal D[\alpha(x)] \right) \int \mathcal D[A] e^{iS[A]} \delta(G(A))\det \frac{\delta G(A^\alpha)}{\delta \alpha}.$$

Wir haben es im Wesentlichen in Integrationen über die Orbits der Messgeräte und physikalisch unterschiedliche Lösungen einbezogen. Nun, für eine$n \times n$Matrix,$M$, können wir die Determinante als Grassmann-Integral ausdrücken, nämlich

$$\int e^{-\theta^T M \eta} d\theta d\eta = \det M$$

wo wir Vektoren von Grassmann-Variablen haben,$\theta$Und$\eta$. Um auf das Pfadintegral zurückzukommen, ist die Determinante die Determinante eines Differentialoperators, und daher verwenden wir eine analoge Formel, um sie zu berechnen. Wir interpretieren dann das Analoge$\theta$Und$\eta$als Felder oder Geister.

Um es noch einmal anders auszudrücken, wir haben im Wesentlichen Dummy-Variablen eingeführt, um die Determinante als Integral auszudrücken, und es stellt sich heraus, dass dieses Integral, wenn es einbezogen wird, die gleiche Form wie eine Lagrange-Funktion für diese Variablen hat, sodass wir sie als Felder interpretieren können.

Kurz gesagt kann die Faddeev-Popov (FP)-Determinante (und ihre integrale Formulierung über FP- Ghost -Variablen) als kompensierender Faktor im Pfadintegral angesehen werden $Z$um sicherzustellen, dass das Pfadintegral$Z$hängt nicht von der Wahl der Manometer-Befestigungsbedingung ab . Siehe auch diesen Phys.SE-Beitrag.

Für eine einfache Eichtheorie (wie zB QED) ist es nicht notwendig, FP-Geister einzuführen. Für kompliziertere Eichtheorien wird es jedoch zweckmäßig, FP-Geister explizit einzuführen und möglicherweise die Eichsymmetrie in einer BRST-Formulierung (wie z. B. der Batalin-Vilkovisky (BV) -Formulierung ) zu codieren.

Tatsächlich die Aktion$S$kann für eine nicht-triviale Eichtheorie prinzipiell nichtquadratisch von den FP-Geistern abhängen, so dass FP-Aktionsterme keine einfache Interpretation über eine Determinante haben.

Die BV-Formulierung kann im Allgemeinen verwendet werden, um einen formalen Beweis dafür zu liefern, dass das eichweite-feste Wegintegral$Z$hängt nicht von der Messgerätewahl ab.