Warum entkoppeln Faddeev-Popov-Geister in BRST?

Liebe Studentin, wie Moshe sagt, der Grund, warum die Geister von Faddeev Popov „entkoppeln“, ist, dass sie dazu bestimmt sind, sich zu entkoppeln.

Genauer gesagt sind sie – und alle von ihnen abhängigen Formeln – so konzipiert, dass die Anregungen dieser Geister sowie unphysikalische Anregungen gewöhnlicherer physikalischer Felder – wie die zeitartigen und longitudinalen Komponenten von Eichfeldern – sauber sind getrennt von den physikalischen Polarisationen - wie Querpolarisationen der Photonen und anderer Eichbosonen.

Das Hinzufügen der zusätzlichen BRST-Geister und der BRST-Ladung macht die Sache besonders natürlich.

Der grobe Grund, warum die richtigen physikalischen Zustände – als BRST-Kohomologien – überleben, während die falschen Zustände nicht überleben, lässt sich leicht im Fall pendelnder Eichsymmetrien erkennen, die von Generatoren erzeugt werden$L_i$. In diesem Fall ist die BRST-Gebühr

$$Q = \sum_i c^i L_i$$ Die Geister $c^i$antikommutieren miteinander - und quadrieren auf null. Sie sehen, dass die einzige Bedingung $$Q|\psi \rangle = 0$$ impliziert das automatisch $$L_i |\psi\rangle = 0,$$ unter anderem damit die Staaten $|\psi\rangle$sind automatisch eichinvariant. Außerdem werden Zustände, die Eichtransformationen voneinander sind, äquivalent, wenn wir definieren $Q$Variationen aller Zustände als unphysikalisch. Insbesondere wenn $$|\chi\rangle = \sum_i \lambda^i b_i |\phi\rangle$$ dann $$Q|\chi\rangle = \sum_i \lambda^i L_i |\phi\rangle$$ ist eine willkürliche Spurweitenvariation der $|\phi\rangle$Vektor (von dem angenommen wurde, dass er durch die vernichtet wurde $c$'s in diesem Fall), die mit dem Vektor identifiziert wird $0$im physikalischen Hilbertraum durch das BRST-Kohomologiegeschäft.

Aufregungen von$b,c$selbst sind unkörperlich

Die Zustände, die nichts anderes enthalten als ungewollte Erregungen$b_i$nicht BRST-geschlossen werden (sie werden nicht vernichtet durch$Q$, ähnlich wie die Komponenten des Eichfelds, die gegen das Gaußsche Gesetz verstoßen), während die Zustände nur unerwünschte Anregungen von enthalten$c_i$sind BRST-trivial (ähnlich wie die reinen Eichkonfigurationen des Eichfeldes). Also auch die Erregungen von$b,c$unphysikalisch werden, zusammen mit zwei nicht transversalen Anregungen des Eichfeldes.

Die gesamte BRST-Maschinerie ist nur für nicht-Abelsche (nicht pendelnde) Gruppen nützlich, aber die obige Maschinerie kann leicht verallgemeinert werden. EIN$cbc\cdot f/2$Begriff ($f$sind die Strukturkonstanten) muss zur Erhaltung der BRST-Ladung hinzugefügt werden$Q^2=0$.

Die obige Darstellung ist mathematisch, weil die BRST-Maschinerie nur ein mathematischer Trick ist. Es gibt keine wirkliche Physik. Tatsächlich ist das gesamte durch den BRST-Formalismus hinzugefügte Toolkit per definitionem unphysisch. Es ist per Definition ein mathematischer Trick. Jeder, der Ihnen sagt, dass er oder sie neue Physik entdeckt, indem er mit dem BRST-Formalismus selbst spielt, lügt Sie an; es ist nicht möglich. Es gibt keine Physik im BRST-Formalismus; Es ist einfach ein sehr nützliches modernes Werkzeug, um Physik zu betreiben.

Aber lassen Sie mich noch einen weiteren Kommentar hinzufügen, warum die unphysikalischen Zustände – die Zustände, die nicht BRST-geschlossen sind; und die Zustände, die BRST-exakt sind - entkoppeln. Wenn der Anfangszustand bei$t=0$physikalisch ist, bleibt es in späteren Momenten Physik - weil$Q$pendelt mit dem Hamiltonian$H$.

Bei$t=0$, ist es legitim, physisch zu identifizieren; Zustände, die sich unterscheiden durch$Q|\phi\rangle$für alle$|\phi\rangle$weil all diese Unterschiede der Form$Q|\phi\rangle$sind orthogonal zu allen physikalischen Zuständen$\langle \kappa|$Weil

$$\langle\kappa|Q|\phi\rangle =0.$$ Letzteres trifft zu, da Sie möglicherweise mit handeln $Q$auf der linken Seite und das Ergebnis ist Null, weil $\langle \kappa|$wurde BRST-geschlossen durch Annahme.

Dies ist eine interessante Frage. Und ich weiß, dass Lubos bereits eine nette und vollständige Antwort geschrieben hat, aber ich denke, ich kann hier einige meiner eigenen Worte hinzufügen.

Ich werde mich hier auf den nicht-abelschen YM-Fall konzentrieren, aber die Ergebnisse hier sind ziemlich allgemein. Die Idee ist, dass die BRST -Quantenwirkung geschrieben werden kann als:

$$\begin{equation} S(qu) = S(cl) + \int\; d^4x\; s\Psi \end{equation}$$

wo$\Psi$bezieht sich auf eine bestimmte Fläche, über die Sie die Antifelder der Aktion drehen, oder, wie häufiger gesagt wird, auf die Funktion zur Befestigung des Messgeräts. Für nicht-abelsches YM ist die übliche Schreibweise:

$$\begin{equation} \Psi = b_a(F^a+\frac{1}{2}\xi d^a) \end{equation}$$

Dieser Begriff taucht auf, weil wir darauf bestehen, ein masseloses Vektorboson als Vierkomponentenfeld zu beschreiben, während es nur zwei physikalische Freiheitsgrade gibt. Für externe Zustände gibt es kein Problem, da nur die beiden Freiheitsgrade auftreten, und das ist letztendlich der physikalische Grund, warum die BRST-Geister so konstruiert sind, dass sie entkoppeln. Für interne Leitungen, dh Propagatoren, tragen die vier Komponenten bei und die zusätzlichen zwei nichtphysikalischen Freiheitsgrade beeinträchtigen die Einheitlichkeit. Dieser Begriff oben behebt es. Sie möchten jedoch nicht, dass Ihre Theorie von der unphysikalischen Wahl von abhängt$\Psi$.

Der natürliche Weg ist also zu fragen, ob die physikalischen Zustände in der Kohomologie der Ladung liegen$Q$dem Betreiber zugeordnet$s$, dh,$sF = [F,Q]$und dies implementiert mathematisch die Entkopplung (der Rest folgt aus dem, was Lubos bereits gesagt hat, dass die eine Geisteranregung nicht BRST-geschlossen und die der anderen BRST-exakt ist).

Obwohl jeder diese Aktion die Quantenaktion nennt , enthält sie keinen Quantenbegriff. Das obige Argument gilt weiterhin quantenmechanisch, wenn nicht nur die Wirkung, sondern auch das Maß BRST-invariant ist. Nun, es stellt sich heraus, dass das YM-Maß nicht BRST-invariant ist (dies ist eine reglerabhängige Aussage!!), aber man kann zeigen, dass die Variation immer ist$s\chi$, dh BRST-genau und alles funktioniert weiter wie im klassischen Fall.