Warum brechen negative Normzustände die Einheitlichkeit?

Ich habe Mark Srednicki danach gefragt, und er sagte mir, dass es nicht wirklich richtig ist zu sagen, dass negative Normzustände die Einheitlichkeit brechen, weil negative Normzustände nach der Definition des inneren Produkts nicht existieren. Es ist oft ein praktischer Rechentrick , Ihren Zustandsraum formal zu erweitern, sodass er kein Hilbert-Raum mehr ist, indem Sie Geister mit negativer Norm hinzufügen, und das Vorhandensein physikalischer Zustände, die formal mit Geistern gekoppelt zu sein scheinen, weist auf das Vorhandensein einer Quantenanomalie hin, die Sie daran hindert von der konsequenten Quantisierung Ihrer Theorie. Aber das ist nur ein Rechentrick, um die Anomalie zu sehen – die Anomalie ist real, die Geister nicht.

Insbesondere können Sie im Prinzip immer die Existenz der Anomalie sehen, ohne Geister einzuführen. Die übliche Erklärung für die Tatsache, dass die bosonische Stringtheorie nur in 26 Dimensionen formuliert werden kann, ist beispielsweise, dass dies die einzige Anzahl von Dimensionen ist, in denen die Geister entkoppeln. Aber wir können alternativ in Lichtkegeln nur mit positiven Normzuständen arbeiten, und wir stellen fest, dass sich die Lorentz-Generatoren nur in 26 Dimensionen schließen. Dies ist eine weitere Möglichkeit, die Anomalie zu sehen, die keine Erwähnung von Geistern erfordert.

Mark sagte auch, dass ein weiterer Grund, warum es falsch ist zu sagen, dass Geister "die Einheitlichkeit brechen", darin besteht, dass sie Sie wirklich nur daran hindern, Ihre Theorie überhaupt konsequent zu quantifizieren - es gibt keinen Grund, die Einheitlichkeit ausdrücklich als gebrochen herauszustellen.

Unitarität bedeutet, dass die Zeitentwicklung durch einen einheitlichen Operator implementiert wird$U(t)=e^{-itH}$(in Einheiten wo$\hbar=1$) auf einem Hilbertraum. Wenn$H$als ein hermitescher linearer Operator auf einem Vektorraum mit einem unbestimmten Skalarprodukt implementiert ist, ist dies nur garantiert, wenn ein Unterraum von physikalischen Zuständen sowohl ein Hilbert-Raum als auch invariant unter der Zeitentwicklung ist. Da in einem Hilbert-Raum alle$\psi^*\psi$nichtnegativ sind, bedeutet dies, dass kein physikalischer Zustand vorliegt$\psi$haben kann$\psi^*\psi<0$. Daher sind alle diese Zustände unphysikalisch. Das ist der genaue Inhalt der Aussage „negative Normzustände brechen die Einheitlichkeit“.

In einem allgemeinen inneren Produktraum$U(t)$wird noch alle inneren Produkte und damit alle Normen bewahren. Aber im Allgemeinen gibt es keinen nützlichen Unterraum, der nur aus positiven Normzuständen und Null besteht. Nur letzteres gilt als Hilbert-Raum. Beachten Sie, dass Linearkombinationen positiver Normzustände eine negative Norm haben können; Daher ist die Bedingung, auf einem Unterraum positiv zu sein, der groß genug ist, um eine Darstellung aller relevanten Observablen statt nur einer Teilmenge aufzunehmen, sehr restriktiv.

Unitarität ist die Idee, dass Zustände in einem (quantenmechanischen) Hilbert-Raum immer normalisiert sind (Länge eins haben),$\langle \psi|\psi\rangle = 1$. Normalerweise wird die Entwicklung eines physikalischen Systems (in der Quantentheorie) durch einen einheitlichen Operator beschrieben, der auf den Zustandsvektor im Hilbert-Raum einwirkt. Beispielsweise ist die zeitliche Entwicklung eines Systems gegeben durch$e^{i H t} |\phi\rangle$, wobei der Exponent des Hamiltonoperators ist$e^{i H t}$ist der einheitliche Operator, der beschreibt, wie sich das System im Laufe der Zeit entwickelt.

Wenn die Evolution nicht einheitlich ist, wird der Zustand nun länger normalisiert. Das ist schlecht, weil sich die Wahrscheinlichkeiten aller hinzugefügten möglichen Ergebnisse jetzt nicht mehr zu eins addieren. Aus dem gleichen Grund war die Entwicklung des Systems nicht einheitlich, wenn Sie einen nicht normalisierten Zustand oder einen Zustand mit negativer Norm erhalten.