In welchen Fällen ist der Operator Batalin-Vilkovisky (BV) wirkungslos?

Kommentare zur Frage (v3):

1. Auf der einen Seite traditionell der Betreiber Batalin-Vilkovisky (BV).$\Delta$in Lagrangescher BRST-Formulierung codiert geometrische Daten des antisymplektischen Phasenraums für das Modell, insbesondere die antisymplektische Struktur [dh das sogenannte Antibracket$(\cdot,\cdot)$, oder ungerade Poisson-Klammer] und eine Pfadintegral-Volumendichte$\rho$. Der BV-Betreiber$\Delta f$auf einer Funktion$f$wird normalerweise als (proportional zu) angenommen$\rho$-Abweichungen$^1$des Hamiltonschen Vektorfeldes$(f,\cdot)$, was ihn zu einem Differentialoperator zweiter Ordnung macht, der als ungerader Laplace bekannt ist. Die Off-Shell-Nullpotenz

   $$\Delta^2~=~0\tag{1}$$ von$\Delta$codiert eine Kompatibilitätsbedingung$^2$zwischen dem Antibracket$(\cdot,\cdot)$und das Pfadintegral misst die Dichte$\rho$.

2. Auf der anderen Seite gibt es die Quanten-Meister-Aktion$W$, die aus der ursprünglichen Aktion, der ursprünglichen Eichsymmetrie, Hilfsfeldern und Antifeldern mit Hilfe des BV-Rezepts/Kochbuchs so aufgebaut ist, dass sie die Quanten-Master-Gleichung erfüllt

   $$\Delta e^{\frac{i}{\hbar}W}~=~0\qquad\Leftrightarrow\qquad\frac{1}{2}(W,W)~=~i\hbar\Delta W \tag{2}$$ aus der Schale. Der Quanten-BRST-Operator ist definiert als $$\sigma~:=~(W,\cdot)-i\hbar\Delta \tag{3}$$ Der Quanten-BRST-Operator ist nullpotent $$\sigma^2~=~0\tag{4}$$ off-shell, wegen Gl. (1)-(3).

3. Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass es auch ein Hamiltonsches Analogon zum Lagrangeschen BV-Formalismus gibt. Dies ist als Batalin-Fradkin-Vilkovisky (BFV)-Formalismus bekannt. Hier die BRST-Ladung$Q$, was Poisson nilpotent ist

   $$\{Q,Q\}_{PB}~=~0\tag{5}$$ Off-Shell, generiert die BRST-Transformation$\{Q,\cdot\}_{PB}$, die wiederum off-shell nilpotent ist, $$\{Q,\{Q,\cdot\}_{PB}\}_{PB}~=~0\tag{6}$$ wegen Gl. (5) und die Jacobi-Identität für die gerade Poisson-Klammer$\{\cdot,\cdot\}_{PB}$.

--

$^1$Das Liouville-Theorem in der symplektischen Geometrie, das besagt, dass Hamiltonsche Vektorfelder divergenzfrei sind, gilt nicht in der antisymplektischen Geometrie.

$^2$Diese Kompatibilitätsbedingung für$(\cdot,\cdot)$Und$\rho$ist zB für antisymplektische Darboux-Koordinaten mit erfüllt$\rho=1$. In der Literatur gibt es verschiedene Verallgemeinerungen, die diese Kompatibilitätsbedingung lockern.