Noether-Strom für den Yang-Mills-Higgs-Lagrangian

Question

Noether-Strom für den Yang-Mills-Higgs-Lagrangian

Benutzer7757

Ich versuche, den Noetherstrom zu berechnen, genauer gesagt die Energiedichte des Yang-Mills-Higgs-Lagrangians. Bitte beziehen Sie sich auf die Gleichungen in den Harvey-Vorlesungen über magnetische Monopole, Dualität und Supersymmetrie . Ich versuche, die Gleichung 1,25 aus dem Lagrangian 1,20 zu bekommen. Mein Lagrange ist wie folgt:

L = - \frac{1}{4} T R (F_{μ v} F^{μ v}) + \frac{1}{2} T R (D_{μ} Φ D^{μ} Φ) - v (Φ)

$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}Tr(F_{\mu \nu}F^{\mu \nu})+\frac{1}{2}Tr(D_\mu \Phi D^\mu \Phi)-V(\Phi)$

Da die Lagrange-Funktion unter Eichtransformation invariant ist, ist dies der Noether-Strom

Θ = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} A_{v})} \partial_{v} A_{μ} + \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} Φ)} \partial_{v} Φ

$\Theta = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}\partial_\nu A_\mu + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \Phi)}\partial_\nu \Phi$

Die erste Ableitung des Stroms kann wie folgt berechnet werden:

\frac{\partial (F_{a β} F^{a β})}{\partial (\partial_{μ} A_{v})} = 2 F^{a β} \frac{\partial F_{a β}}{\partial (\partial_{μ} A_{v})}

$\frac{\partial(F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta})}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}=2F^{\alpha \beta}\frac{\partial F_{\alpha \beta}}{\partial{(\partial_\mu A_\nu)}}$ Ausdehnen

F_{α β}

$F_{\alpha\beta}$ , und verwenden

\frac{\partial (\partial_{α} A_{β})}{\partial (\partial_{μ} A_{ν})} = δ_{α}^{μ} δ_{β}^{ν}

$\frac{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}=\delta^\mu_\alpha\delta^\nu_\beta$ , wir bekommen

\frac{\partial (F_{a β} F^{a β})}{\partial (\partial_{μ} A_{v})} = 2 F^{a β} (δ_{a}^{μ} δ_{β}^{v} - δ_{β}^{μ} δ_{a}^{v}) = 4 F^{μ v}

$\frac{\partial(F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta})}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}=2F^{\alpha\beta}(\delta^\mu_\alpha\delta^\nu_\beta-\delta^\mu_\beta\delta^\nu_\alpha)=4F^{\mu\nu}$

Genauso kann die Berechnung für die zweite Ableitung erfolgen. Also ich bekomme folgendes:

Θ^{μ v} = - F^{μ v} \partial_{v} A_{μ} + D_{μ} Φ \partial_{v} Φ

$\Theta ^{\mu \nu}=-F^{\mu\nu} \partial_\nu A_\mu + D_\mu \Phi \partial_\nu \Phi$

Wie erhalte ich daraus die in Harveys Vorlesungen geschriebene Antwort?

Θ^{μ v} = F^{μ ρ} F^{ρ v} + D^{μ} Φ D^{v} Φ

$\Theta^{\mu \nu}=F^{\mu \rho}F^{\rho \nu}+D^\mu \Phi D^\nu \Phi$

Ich habe mich sehr bemüht, aber ich bekomme die "zusätzlichen" Begriffe in der Antwort nicht, um abzubrechen und mir meine Antwort zu geben, oder ich mache einen grundlegenden Fehler. Vielen Dank im Voraus.

BEARBEITEN : Wie Ron betont hat, wird von uns erwartet, dass wir den symmetrischen Energietensor berechnen. Könnte mir bitte jemand sagen, wie ich den symmetrischen Spannungs-Energie-Tensor direkt und vom kanonischen Energie-Tensor bekomme, was ist der konzeptionelle Unterschied zwischen den beiden? Wenn möglich, schlagen Sie eine Referenz vor.

QMechaniker

Siehe auch: physical.stackexchange.com/q/27048/2451

Ron Maimon

Die Frage in der Bearbeitung ist eine neue Frage, und dies erfordert eine ausführliche Antwort. Sie sollten sie separat posten.

Ron Maimon

Die Wikipedia-Seite zum Belinfante-Rosenfeld-Spannungstensor ist hilfreich. Das Differenzieren der Wirkung in Bezug auf g ist der schnellste Weg, um den richtigen Spannungstensor zu erhalten, der Unterschied wird auf Wikipedia erklärt, er liegt daran, dass die Drehimpulsdichte in den Feldern nicht richtig in den kanonischen Spannungstensor aufgenommen wird, um die richtige Beziehung zu geben zwischen dem Drehimpuls und dem Spannungstensor erwartet man aus allgemeinen Gründen, dass eine Drehung um eine entfernte Achse eine Translation ist.

Ron Maimon

@Qmechanic: Es tut mir leid, ich bin Ihrem Link nicht gefolgt, das macht meine Antwort unnötig.

Antworten (1)

Noether-Strom für den Yang-Mills-Higgs-Lagrangian

Die Frage in der Bearbeitung ist eine neue Frage, und dies erfordert eine ausführliche Antwort. Sie sollten sie separat posten.
Die Wikipedia-Seite zum Belinfante-Rosenfeld-Spannungstensor ist hilfreich. Das Differenzieren der Wirkung in Bezug auf g ist der schnellste Weg, um den richtigen Spannungstensor zu erhalten, der Unterschied wird auf Wikipedia erklärt, er liegt daran, dass die Drehimpulsdichte in den Feldern nicht richtig in den kanonischen Spannungstensor aufgenommen wird, um die richtige Beziehung zu geben zwischen dem Drehimpuls und dem Spannungstensor erwartet man aus allgemeinen Gründen, dass eine Drehung um eine entfernte Achse eine Translation ist.
@Qmechanic: Es tut mir leid, ich bin Ihrem Link nicht gefolgt, das macht meine Antwort unnötig.

Ron Maimon · Answer 1

Ihre Antwort wird nicht mit der Antwort in der Arbeit übereinstimmen, da Sie den kanonischen Spannungs-Energie-Tensor berechnen, der erhalten bleibt, aber nicht symmetrisch ist und der eine komplizierte Beziehung zum Drehimpulstensor hat. Das Problem ist, dass es zwei verschiedene Erhaltungsgrößen gibt, den Spannungsenergietensor und den Drehimpulstensor, und die Informationen in den beiden sich teilweise für eine Theorie mit Rotations-/Lorentz- und Translationsinvarianz überschneiden.

Die einfache Standardlösung besteht darin, den Spannungstensor durch Differenzieren nach zu berechnen $g_{\mu\nu}$ . So erhält man automatisch einen symmetrischen Spannungstensor mit den richtigen Eigenschaften, den er zum Drehimpulstensor macht, indem man einfach mit x-Faktoren multipliziert

L_{μ v a} = X_{a} T_{μ v} - X_{μ} T_{a v}

$L_{\mu\nu\alpha} = x_{\alpha} T_{\mu\nu} - x_{\mu}T_{\alpha\nu}$

In einigen Konventionen und unter der Annahme, dass Sie einen symmetrischen Spannungstensor verwenden. Die Ableitung der Aktion bzgl $g_{\mu\nu}$ ergibt Harveys Ergebnis.

Ich sollte darauf hinweisen, dass Sie ein Semester verpasst haben $-\eta^{\mu\nu} L$ in Ihren Stresstensoren, sowohl in Ihrem als auch in Harveys. Dies hat keinen Einfluss auf die Frage.

Könnten Sie bitte erklären, warum die $−\eta_{\mu \nu}L$ Begriff ist da. Sollte in meiner zweiten Gleichung, die die Formel für den Noetherstrom ist, dieser Term nicht vorhanden sein? Dieser Term ist auf die Änderung des Lagrange-Operators aufgrund der Symmetrietransformation zurückzuführen, aber da der Lagrange-Operator unter der Eichtransformation unveränderlich ist, sollten wir nur die Aktionsänderung berücksichtigen. Könnten Sie mir bitte auch eine Referenz zum Lesen über die "kanonischen" und "symmetrischen" Energietensoren geben, was ich getan habe, ist der einzige Stress-Energie-Tensor, den ich kenne.
@ramanujan_dirac: Dieser Begriff ist aufgrund der Verschiebung der Randbedingungen vorhanden, wenn Sie eine Übersetzung durchführen (im kanonischen Fall). Um dies zu verstehen, leiten Sie die Standardformel für die Energieerhaltung in 1d Lagrange ab: $H = p\dot{q} -L$ . Es ist dasselbe wie der Grund für -L. Translationen sind Raumzeitsymmetrien, und das Verschieben des Integrationsbereichs wirkt sich auf die Grenzen aus. Bei GR liegt es am metrischen Faktor $\sqrt{g}$ in der Dichte. In jedem Fall ist dies immer die richtige Formel. Schlagen Sie dafür den Belinfante-Rosenfeld-Spannungstensor nach.

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Benutzer7757

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