Warum wird die Farbe in QCD konserviert?

Globale Invarianz unter$SU(N)$ist gleichbedeutend mit der Erhaltung von$N^2-1$Ladungen – diese Ladungen sind nichts anderes als die Generatoren der Lie-Algebra${\mathfrak su}(N)$die einige Komponenten mischen$SU(N)$Multipletts mit anderen Komponenten derselben Multipletts. Diese Ladungen pendeln im Allgemeinen nicht miteinander. Stattdessen sind ihre Kommutatoren durch die definierenden Beziehungen der Lie-Algebra gegeben,

$$[\tau_i,\tau_j] = f_{ij}{}^k \tau_k$$ Aber diese Generatoren $\tau_i$sind Symmetrien, weil sie mit dem Hamiltonoperator pendeln, $$[\tau_i,H]=0.$$ Keine dieser Ladungen darf als „Gluonenzahl“ interpretiert werden. Diese Identifizierung ist nicht nur bei QCD, sondern sogar im einfacheren Fall von QED völlig unbegründet. Was in der Elektrodynamik wegen der konserviert wird $U(1)$Symmetrie ist sicher nicht die Anzahl der Photonen! Es ist die elektrische Ladung $Q$das ist was ganz anderes. Insbesondere Photonen tragen keine elektrische Ladung.

Ebenso diese einmalige Ladung$Q$– Erzeuger von$U(1)$– wird ersetzt durch$N^2-1$Gebühren$\tau_i$, die Generatoren der Algebra${\mathfrak su}(N)$, im Falle der$SU(N)$Gruppe.

Außerdem ist es irreführend – aber etwas weniger irreführend – zu behaupten, dass die konservierten Ladungen global sind$SU(N)$unveränderliche Theorien sind genau das$N$Farbladungen. Was erhalten bleibt – was mit dem Hamilton-Operator pendelt – ist das ganze Multiplett von$N^2-1$Gebühren, die Generatoren von${\mathfrak su}(N)$.

Nicht-abelsche Algebren sind möglicherweise etwas kontraintuitiv, und die verborgene Motivation hinter der irreführenden Behauptung des OP kann ein Darstellungsversuch sein$SU(N)$Als ein$U(1)^k$weil Sie vielleicht möchten, dass die Ladungen pendeln – und daher gleichzeitige Eigenzustände zulassen (die Werte der Ladungen sind im selben Moment wohldefiniert). Aber$SU(N)$ist zu keinem isomorph$U(1)^k$; erstere ist eine nicht-abelsche Gruppe, letztere eine abelsche Gruppe.

Sie dürfen höchstens a einbetten$U(1)^k$Gruppe ein$SU(N)$. Es gibt keinen kanonisch bevorzugten Weg, aber alle Auswahlmöglichkeiten sind bis zur Konjugation gleichwertig. Aber die größte Pendlergruppe, in die man sich einbetten kann$SU(N)$ist nicht$U(1)^N$. Stattdessen ist es$U(1)^{N-1}$. Die Subtraktion von Eins entsteht wegen$S$(speziell, Determinante gleich eins), eine Bedingung, die eine größere Gruppe einschränkt$U(N)$dessen Cartan-Subalgebra tatsächlich wäre$U(1)^N$.

Zum Beispiel im Fall von$SU(3)$der realen QCD ist die maximal pendelnde (Cartan) Subalgebra der Gruppe$U(1)^2$. Es beschreibt einen zweidimensionalen Raum von "Farben", die auf einem Schwarz-Weiß-Fernseher nicht sichtbar gemacht werden können, um die Analogie mit den Rot-Grün-Blau-Farben des menschlichen Auges zu verwenden. Stellen Sie sich eine Ebene mit Sechsecken und Dreiecken mit Rot-Grün-Blau und Cyan-Lila-Gelb an den Eckpunkten vor.

Aber graue, also farbneutrale Objekte tragen nach der Cartan-Subalgebra von keine Ladungen$SU(N)$. Das Neutron zum Beispiel besteht aus einem roten, einem grünen und einem blauen Valenzquark. Man könnte also sagen, dass es Gebühren hat$(+1,+1,+1)$unter den "drei Farben". Aber das wäre völlig ungültig. Ein Neutron (ähnlich wie ein Proton) trägt tatsächlich keine konservierten QCD-„Farb“-Ladungen. Es ist neutral unter der Cartan-Subalgebra$U(1)^2$von$SU(3)$weil die Farben der drei Quarks mit dem antisymmetrischen Tensor kontrahiert sind$\epsilon_{abc}$ein Unterhemd herzustellen. Tatsächlich ist es unter allen acht Erzeugern unveränderlich$SU(3)$. Es muss so sein. Alle Teilchen, die isoliert auftreten dürfen, müssen Farbsinguletts sein – dh verschwindende Werte aller erhaltenen Ladungen in sich tragen$SU(3)$– wegen Haft!

Also soweit die$SU(3)$Ladungen gehen, nichts hindert ein Neutron daran, zu völlig neutralen Endprodukten wie Photonen zu zerfallen. Es ist nur der (halbzahlige) Spin$J$und die (sehr ungefähr) konservierte Baryonenzahl$B$die das Neutron nur in ein Proton, ein Elektron und ein Antineutrino zerfallen lassen und das Proton (bisher) stabil machen, obwohl der Zerfall des Protons in völlig quarkfreie Endprodukte wie z$e^+\gamma$ist fast sicher möglich, wenn auch sehr selten.

Was Luboš geschrieben hat, ist völlig richtig, aber ich verstehe auch, dass es Ihre Frage nicht vollständig beantwortet. Mit der Aussage "Farbe bleibt in QCD erhalten" meinen Sie wahrscheinlich, dass es drei U (1) -Symmetrien gibt, die der roten, grünen und blauen Farbe entsprechen. Sie wissen es, weil Sie viele QCD-Bilder wie dieses hier gesehen haben, wo die farbigen Linien niemals enden. Ich finde es interessant, dass dies fast nirgends explizit erklärt wird. Betrachten Sie meine Antwort als Fortsetzung der von Luboš und nicht als alternative Erklärung.

Wie Luboš geschrieben hatte, die$SU(3)$Eichsymmetrie impliziert, dass es zwei kommutierende Operatoren gibt, weil Rank[$SU(3)$]=2. Wir können diese Operatoren herkömmlich als wählen

$$\lambda_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}, \quad \lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}.$$ Diese Operatoren wirken auf die Quarks $q=(q_r, q_g, q_b)^T$über linke Multiplikation und auf die Gluonen $G_\mu = \sum_{i=1}^8\lambda_i G^{i}_\mu$über Kommutierung. Anscheinend sind das keine Operatoren von roter, grüner oder blauer Farbe.

Allerdings gibt es, wie Luboš auch geschrieben hat, ein zusätzliches Globales$U(1)$Symmetrie entsprechend der Erhaltung der Baryonenzahl. Die Darstellung seines Erzeugers, dh des Operators der Baryonenzahl, in derselben Schreibweise nimmt die Form an

$$B = \frac{1}{3} \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{pmatrix}.$$

Somit$\{\lambda_3, \lambda_8, B\}$spannt die triviale Lie-Algebra entsprechend auf$U(1)^3$Symmetriegruppe. Da jede Basis so gut wie jede andere ist, können wir die Basis ändern, indem wir die Linearkombinationen der 3 Generatoren zu der folgenden machen:

$$r= \begin{pmatrix} 1&0&0&\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}, \quad g= \begin{pmatrix} 0&0&0&\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}, \quad b= \begin{pmatrix} 0&0&0&\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$ Offensichtlich verdienen diese Operatoren es, Operatoren der roten, grünen und blauen Farbe genannt zu werden, weil $$\psi_r = \begin{pmatrix} 1\\0\\0\end{pmatrix}, \quad \psi_g = \begin{pmatrix} 0\\1\\0\end{pmatrix}, \quad \psi_b = \begin{pmatrix} 0\\0\\1\end{pmatrix}$$ sind ihre simultanen Eigenzustände mit den erwarteten Eigenwerten.

Deshalb werden Farben umgewandelt. Daher ist es sinnvoll zu sagen, dass Neutron Farben hat (+1,+1,+1), aber es ist äquivalent zu der (eleganteneren) Aussage, dass Neutron ein farbloses Baryon ist.

Ich denke, die Farbladung ist möglicherweise KEINE Noether-Ladung. Im Kontext der Yang-Mills-Theorie ist Farbe nur der Index der Generatoren der Matrixdarstellung der Eichgruppe.

Die Aussage "Farben bleiben erhalten" kann von Fierz indentity stammen:

$\sum_a T^a_{ij}T^a_{kl} = \frac{1}{2} \left( \delta_{il}\delta_{jk} - \frac{1}{N} \delta_{ij}\delta_{kl}\right)$

Diese Struktur kann in Feynman-Diagrammen erscheinen. Zum Beispiel für$u\bar{d} \to u \bar{d}$Streuung haben wir auf Baumebene:

$$\begin{equation} T_{j i}^{a} T_{k l}^{a}\left(i g_{s}\right)^{2} \bar{u}_{j}\left(p_{2}\right) \gamma^{\mu} u_{i}\left(p_{1}\right) \frac{-i\left[g_{\mu \nu}-(1-\xi) \frac{k_{\mu} k_{\nu}}{k^{2}}\right]}{k^{2}} \bar{v}_{k}\left(p_{3}\right) \gamma^{\nu} v_{l}\left(p_{4}\right) \end{equation}$$ Wenn also die eingehende "Farbe"$i \neq j$, dann haben wir abgehende Farbe zu sein$l=i,~ k = j$, was als "Farberhaltung" interpretiert werden kann. Wenn$i =j$, dann nennen wir es "Farbsingulett", und der Endzustand kann rot/anti-rot, blau/anti-blau oder grün/anti-grün sein.