(Anti)Kommutation von Geistern und Fermionen

Question

(Anti)Kommutation von Geistern und Fermionen

Physik
Eichtheorie
Quantisierung
eingeschränkte Dynamik
Quantenfeldtheorie
Quantenchromodynamik

Blazej

Ich möchte fragen, ob fermionische Grassmann-Felder in einem Eichtheorie-Pfadintegral (z. B. in QCD) ausgewählt werden sollten, um mit Geister- und Anti-Geisterfeldern zu pendeln oder zu antikommutieren. Die Art und Weise, wie die meisten Lehrbücher es darstellen, legt nahe, dass Anti-Kommutation gewählt werden sollte, aber ich kenne kein Argument dafür. Es stellt sich auch die Frage nach (Anti-)Vertauschungsrelationen für entsprechende Operatoren im Kerin-Raum .

Ich wurde in den Kommentaren gefragt, wo dieses Problem jemals aufgetreten ist. Es war eine Ableitung des konservierten BRS-Stroms in QCD. Lassen Sie mich zunächst erklären, dass in vielen Büchern angegeben wird, dass der BRS-Betreiber $s$ erfüllt beispielsweise die abgestufte Leibniz-Regel in Bezug auf die Fermionenzahl $s ( \bar \psi \psi ) = (s \bar \psi ) \psi - \bar \psi s \psi$ . In einer Vorlesung über Anomalien, die ich kürzlich besucht habe, wurde gesagt, dass stattdessen die Leibniz-Regel graduiert in Bezug auf die Geisterzahl verwendet werden sollte (oder zumindest verwendet werden kann), so $s ( \bar \psi \psi ) = (s \bar \psi ) \psi + \bar \psi s \psi$ Aber $s (c^a c^b)=(sc^a) c^b - c^a (s c^b)$ . Daher bin ich natürlich dazu veranlasst, Variationen von Feldern des Formulars in Betracht zu ziehen $\phi \to \phi + \epsilon s \phi$ , Wo $\epsilon$ ist ein Grassmann-Parameter, der mit kommutiert $A, \psi, \bar \psi$ aber Antipendeln mit $c^a$ Und $\bar c^a$ . Ich fand heraus, dass unter diesen Transformationen Handlungsvariationen Gestalt annehmen

δ S = \int D^{4} X (\partial_{μ} ϵ) [- F_{A}^{μ v} D_{v} C^{A} + G \bar{ψ} γ^{μ} C^{A} T_{A} ψ + B^{A} D^{μ} C^{A} - \frac{1}{2} G F_{A B C} (\partial^{μ} {\bar{C}}^{A}) C^{B} C^{C}] .

$\delta S = \int d^4 x (\partial_{\mu} \epsilon) \left[ - F_a^{\mu \nu} D_{\nu} c^a + g \bar \psi \gamma^{\mu} c^a t_a \psi + b^a D^{\mu} c^a - \frac{1}{2} g f_{abc} (\partial^{\mu} \bar c^a) c^b c^c \right].$ Das sehen wir in der Klammer

[]

$[]$ wir haben einen erhaltenen Strom, der ab jetzt bezeichnet wird

J_{B R S}^{μ}

$J_{\mathrm{BRS}}^{\mu}$ . Nachdem ich diesen Strom mit den Bewegungsgleichungen manipuliert hatte, fand ich einen Begriff

g [\bar{ψ}, c^{a}] γ^{μ} t_{a} ψ

$g [\bar \psi, c^a] \gamma^{\mu} t_a \psi$ . Es stellt sich heraus, dass die explizite Auswertung der Divergenz von

J_{B R S}^{μ}

$J_{\mathrm{BRS}}^{\mu}$ Die Verwendung von Bewegungsgleichungen ergibt nur dann Null, wenn dieser Kommutator als Null angenommen wird. Daher scheint mir, dass dies die einzige Wahl ist, die mit meiner Wahl der Definition des BRS-Betreibers vereinbar ist.

Bemerkung Ich habe den Lagrange verwendet

L = - \frac{1}{4} F^{2} + \bar{ψ} (ich γ \cdot D - M) ψ + \partial_{μ} {\bar{C}}^{A} D^{μ} C^{A} - A_{μ}^{A} \partial^{μ} B^{A} + \frac{1}{2} ξ B^{2},

$\mathcal L = - \frac{1}{4} F^2 + \bar \psi (i \gamma \cdot D - M) \psi + \partial_{\mu} \bar c^a D^{\mu}c^a - A^a_{\mu} \partial^{\mu} b^a + \frac{1}{2} \xi b^2 ,$ mit kovarianter Ableitung

D = \partial + i g A

$D=\partial + ig A$ .

Benutzer178876

Können Sie einen Begriff aufschreiben, in dem dies von Bedeutung ist?

Blazej

Lieber @marmot, in einigen Berechnungen (bezogen auf den BRST-Operator), die ich in QCD gemacht habe, habe ich einen Begriff gefunden

\bar{ψ} c^{a} t_{a} ψ - c^{a} \bar{ψ} t_{a} ψ

$\bar \psi c^a t_a \psi - c^a \bar \psi t_a \psi$ . Es verschwindet, wenn das Geisterfeld mit Spinorfeldern kommutiert, sonst nicht.

Benutzer178876

Danke! Ich frage mich, ob Sie der Frage die Ableitung des Begriffs hinzufügen möchten.

Prof. Legolasov

@Blazej könnten Sie erläutern, wie dieser Begriff in Ihre Berechnung einfließt und warum er notwendig ist? Physikalisch koppeln Geister und Fermionen nicht aneinander. Tatsächlich sind Geister lediglich ein störender Weg, um sich an die Korrektur des Integralmaßes des Yang-Mills-Pfads anzupassen, das von der Pegelfestlegung herrührt. Verwenden Sie eine Messgerät-Fixierungsbedingung mit Fermionen?

Blazej

Lieber @marmot und Solenodon Paradoxus, ich habe meine Frage bearbeitet, um anzugeben, wo mein Problem auftritt.

DanielC

Die bloße Erwähnung von Kerinräumen hat mich interessiert, jedoch sehe ich dies nicht weiterverfolgt, daher bin ich enttäuscht.

QMechaniker

Welche Seite in Anomalies in QFT von Bertlmann?

Blazej

@DanielC, Kerin-Räume werden erwähnt, weil man schließlich auch alle Felder zu Operatoren machen möchte, die in einem Raum mit unbestimmter Signatur agieren. Soweit ich verstehe, ist die angemessene mathematische Struktur für diese Räume der Kerin-Raum, aber bitte korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege.

Blazej

Lieber @Qmechanic , es tut mir leid, ich habe es jetzt überprüft und es scheint, dass ich durch einen Satz in Bertlmann verwirrt wurde. Das bedeutet, dass ich keine zuverlässige schriftliche Referenz für den Ansatz habe, den ich anzuwenden versuche. Ich habe in einer Vorlesung davon erfahren und werde unseren Dozenten nach einigen Referenzen fragen.

Blazej

Für alle, die sich in Zukunft dafür interessieren, merke ich an, dass, wenn angenommen wird, dass der BRS-Operator die Leibniz-Regel erfüllt, die in Bezug auf die Fermionenzahl abgestuft ist, derselbe BRS-Strom bis zur Änderung des Vorzeichens im fermionischen Term erhalten wird. Nach der Anwendung von EOMs sehen wir also, dass dies für die Erhaltung erforderlich ist

\bar{ψ}

$\bar \psi$ Und

c^{a}

$c^a$ Antipendler.

Antworten (1)

(Anti)Kommutation von Geistern und Fermionen

Können Sie einen Begriff aufschreiben, in dem dies von Bedeutung ist?
Lieber @marmot, in einigen Berechnungen (bezogen auf den BRST-Operator), die ich in QCD gemacht habe, habe ich einen Begriff gefunden $\bar \psi c^a t_a \psi - c^a \bar \psi t_a \psi$ . Es verschwindet, wenn das Geisterfeld mit Spinorfeldern kommutiert, sonst nicht.
Danke! Ich frage mich, ob Sie der Frage die Ableitung des Begriffs hinzufügen möchten.
@Blazej könnten Sie erläutern, wie dieser Begriff in Ihre Berechnung einfließt und warum er notwendig ist? Physikalisch koppeln Geister und Fermionen nicht aneinander. Tatsächlich sind Geister lediglich ein störender Weg, um sich an die Korrektur des Integralmaßes des Yang-Mills-Pfads anzupassen, das von der Pegelfestlegung herrührt. Verwenden Sie eine Messgerät-Fixierungsbedingung mit Fermionen?
Lieber @marmot und Solenodon Paradoxus, ich habe meine Frage bearbeitet, um anzugeben, wo mein Problem auftritt.
Die bloße Erwähnung von Kerinräumen hat mich interessiert, jedoch sehe ich dies nicht weiterverfolgt, daher bin ich enttäuscht.
@DanielC, Kerin-Räume werden erwähnt, weil man schließlich auch alle Felder zu Operatoren machen möchte, die in einem Raum mit unbestimmter Signatur agieren. Soweit ich verstehe, ist die angemessene mathematische Struktur für diese Räume der Kerin-Raum, aber bitte korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege.
Lieber @Qmechanic , es tut mir leid, ich habe es jetzt überprüft und es scheint, dass ich durch einen Satz in Bertlmann verwirrt wurde. Das bedeutet, dass ich keine zuverlässige schriftliche Referenz für den Ansatz habe, den ich anzuwenden versuche. Ich habe in einer Vorlesung davon erfahren und werde unseren Dozenten nach einigen Referenzen fragen.
Für alle, die sich in Zukunft dafür interessieren, merke ich an, dass, wenn angenommen wird, dass der BRS-Operator die Leibniz-Regel erfüllt, die in Bezug auf die Fermionenzahl abgestuft ist, derselbe BRS-Strom bis zur Änderung des Vorzeichens im fermionischen Term erhalten wird. Nach der Anwendung von EOMs sehen wir also, dass dies für die Erhaltung erforderlich ist $\bar \psi$ Und $c^a$ Antipendler.

QMechaniker · Answer 1

Es ist nicht ganz klar, wonach OP sucht, aber hier sind einige hoffentlich hilfreiche Kommentare:

Klassisch (d.h. wenn Planck-Konstante $\hbar\to 0$ ), zwei Felder $A$ Und $B$ sind superkommutativ
$A B = (- 1)^{| A | | B |} B A,$ $AB~=~(-1)^{|A||B|}BA,$ Wo $|A|$ Und $|B|$ bezeichnen die entsprechende Grassmann-Parität. Mit anderen Worten, der klassische Superkommutator $[A, B] \equiv A B - (- 1)^{| A | | B |} B A = 0$ $[A,B]~\equiv~AB-(-1)^{|A||B|}BA~=~0$ verschwindet.
Der Superkommutator in der Quantentheorie ist typischerweise eine Quantendeformation des klassischen Superkommutators.
Beachten Sie, dass Geisterfelder je nach Theorie sowohl Grassmann-gerade als auch Grassmann-ungerade sein können.
Prinzipiell kann man Superalgebren mit mehreren unabhängigen betrachten $\mathbb{Z}_2$ - oder $\mathbb{Z}$ -Bewertungen
$| \cdot |_{1}, \dots, | \cdot |_{N} .$ $|\cdot|_1, \quad \ldots, \quad |\cdot|_n.$ Der Superkommutator in einer solchen Superalgebra ist dann definiert als $[A, B] \equiv A B - (- 1)^{\sum_{ich = 1}^{N} | A |_{ich} | B |_{ich}} B A .$ $[A,B]~\equiv~AB-(-1)^{\sum_{i=1}^n|A|_i|B|_i}BA.$ (Zum Beispiel könnte man den Grad der äußeren Form und die übliche Grassmann-Bewertung als zwei unabhängige Bewertungen betrachten.)
Eine Theorie kann unterschiedliche Konventionen zulassen. Der Hauptpunkt ist, dass man konsequent sein sollte.
Insbesondere in Bezug auf Fermion-Materie-Felder $\psi$ , Faddeev-Popov-Geisterfeld $c$ und Antigeisterfelder $\bar{c}$ In der Yang-Mills-Theorie ist es möglich, die BRST-Formulierung konsequent mit nur einer Art von Grassmann-Gradierung aufzustellen, in der $\psi$ , $c$ Und $\bar{c}$ sind alle Grassmann-ungerade und paarweise gegen das Pendeln.

Lieber @Qmechanic, mathematisch können wir eine Situation haben, in der wir zwei unabhängige Grassmann-Algebren haben, die von erzeugt werden $\eta_i$ Und $\xi_i$ , so dass $\{ \xi_i , \xi_j \} = \{ \eta_i , \eta_j \}=0$ Aber $[\eta_i, \xi_j]=0$ . Die Frage ist, ob eine solche Konstruktion in Quantenfeldtheorien implementiert ist.
Sehr geehrter @Qmechanic , bitte beachten Sie, dass ich meine Frage bearbeitet habe, um anzugeben, wo genau das Problem auftritt und was mich dazu gebracht hat, das zu glauben $[c^a,\psi]=0$ (auf der Ebene der Integrationsvariablen) ist die konsistente Definition in dem von mir verwendeten Ansatz.
Ich akzeptiere diese Antwort, auch wenn die Frage, ob die Vereinbarung mit dem BRS-Operator als abgestuft in Bezug auf die Geisternummer akzeptiert wird, für mich noch offen ist. Genau genommen ist es jedoch nicht die Frage, die ich ursprünglich gestellt habe, und es könnte sehr schwierig sein, eine eindeutige Antwort zu geben.

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