Was ist der Unterschied zwischen der Yang-Mills-Theorie und der QCD?

Vom Anfang der Wikipedia-Seite zur Yang-Mills-Theorie (haben Sie sie gelesen?):

" Die Yang-Mills-Theorie ist eine Eichtheorie, die auf der SU(N)-Gruppe basiert ...

... Anfang 1954 erweiterten Chen Ning Yang und Robert Mills das Konzept der Eichtheorie für abelsche Gruppen, z. B. Quantenelektrodynamik, auf nichtabelsche Gruppen, um ...

... Dies führte zu einem bedeutenden Neustart der Yang-Mills-Theoriestudien, die sich bei der Formulierung sowohl der elektroschwachen Vereinigung als auch der Quantenchromodynamik (QCD) als erfolgreich erwiesen. Die elektroschwache Wechselwirkung wird von der SU(2)xU(1)-Gruppe beschrieben, während QCD eine SU(3)-Yang-Mills-Theorie ist. "

Yang-Mills Theorien sind eine Klasse von (klassischen) Feldtheorien und könnten als Verallgemeinerung der elektromagnetischen Feldtheorie angesehen werden. Was sich zwischen den Yang-Mills-Theorien unterscheidet, ist die jeweils betrachtete Eichgruppe, aber der Punkt ist, dass es mehrere mögliche gibt.

Man kann die elektromagnetische Feldtheorie quantisieren und man „erhält“ die Quantenelektrodynamik. Sie können Yang Mills Theorien auch quantisieren und erhalten auf diese Weise einige andere spezifische Quantenfeldtheorien. Man „verwendet“ die Yang-Mills-Theorie bei den Berechnungen der verschiedenen Teile des Standardmodells usw., weil die zugrunde liegenden Strukturen solche nicht-abelschen Feldtheorien sind. Beachten Sie, dass Physiker, wenn sie sagen "das ist eine Yang-Mills-Theorie", normalerweise bereits über die quantisierte Version sprechen.

Beispielsweise ist QCD eine (quantisierte) SU(3)-Yang-Mills-Theorie mit Kopplung an bestimmte Ferimone. Die Fermionen im Lagrangian sind über den aktuellen Term „$j^\mu A_\mu$". Die spezifische (Lie-)Gruppenstruktur (SU(3) im QCD-Fall) spiegelt sich insbesondere in der Anzahl der Gluonen (acht) usw. wider. Wie viele andere physikalische Eigenschaften wird dies durch die Gruppendarstellungstheorie bestimmt .

Supersymmetrische Theorien sind Theorien mit mehr Merkmalen als die übliche Yang-Mills-Theorie, bei der es a priori hauptsächlich um die bosonischen Felder geht (Photons, W$^{\pm}$/Z-Bosonen, Gluonen,...). Supersymmetrie bezieht sich auf Fermionen und Bosonen.

Eine Yang-Mills-Theorie hat nur ein Eichfeld, aber kein zugehöriges Materiefeld. Quantum$SU(3)$Die Yang-Mills-Theorie beschreibt Gluonen in Abwesenheit von (realen oder virtuellen) Quarks. Daher ist sie aus phänomenologischer Sicht nur eine Spielzeugtheorie.

QCD ist die Theorie aus erhalten$SU(3)$Yang-Mills-Theorie durch Kopplung mit fermionischen Feldern, die Quarks darstellen.

Die Yang-Mills-Theorie ist die Quantisierung der folgenden Feldtheorie: Das Yang-Mills-Feld$A$ist eine Verbindung auf a$G$-bündeln$P \to M$mit halbeinfacher Lehrengruppe$G$[1]. Der Lagrange ist

$$L = -\frac{1}{4}\langle F,F\rangle$$ Hier $F$ist die Krümmung der Verbindung $A$und Sie sollten sich die Klammer als ein Skalarprodukt vorstellen. Die Lagrange-Funktion ist eine Verallgemeinerung der Lagrange-Funktion für die quellenfreien Maxwell-Gleichungen, $F$ist eine Verallgemeinerung des kovarianten Feldstärketensors. In der Quantenfeldtheorie sind Yang-Mills-Felder Kraftträger, sie sind masselose Vektorbosonen, die Wechselwirkungen zwischen Materiefeldern (verschiedene Fermionen) vermitteln. Wird für obige Theorie der Begriff (reine) Yang-Mills-Theorie verwendet, Quantisierung benötigt die Einschlussgeister, damit zusätzliche fermionische Materiefelder auch nicht schaden, dann spricht man bei Materie meist von Yang-Mill-Theorie.

Eine supersymmetrische Verallgemeinerung erhält man wie folgt: Betrachten Sie eine weitere$\mathfrak{g}$-bewertetes Spinorfeld$\psi$und der Lagrange

$$L = -\frac{1}{4}\langle F,F\rangle + \frac{1}{2}\langle \psi,{D}_A\psi\rangle,$$ wo $D_A$ist der zugeordnete kovariante Dirac-Operator $A$. Diese Theorie ist im Minkowskiraum genau dann supersymmetrisch, wenn die Dimension Raumzeit ist $d = 3,4,6,10$. Dies ist ziemlich schwierig zu beweisen und hängt damit zusammen, dass es 4 normierte Divisionsalgebren gibt: $\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H},\mathbb{O}$. Symbolisch ist die Supersymmetrietransformation $\delta A = \epsilon \cdot \psi, \delta \psi = \frac{1}{2}F\epsilon$für ein Spinorfeld $\epsilon$. Physikalisch beschreibt diese Theorie ein Yang-Mills-Eichfeld, das mit einem masselosen Spinor gekoppelt ist.

Es gibt mehrere mögliche Modifikationen dieses Lagrangians: Am wichtigsten ist, dass es eine supersymmetrische Erweiterung gibt, die die Einbeziehung zusätzlicher massiver Materiefelder erlaubt: Sie können eine minimale Kopplung betrachten$\sigma$-Modell Lagrange

$$L = -\frac{1}{4}\langle F,F\rangle + \frac{1}{2}\|d_A\phi\|^2 -\int_M \phi^*V,$$ wo $\phi$ist ein Teil des zugehörigen Bündels $X^P = P \times_G X \to M$, $V \colon X \to \mathbb{R}$a $G$-invariantes Potential und $X$eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, auf der $G$wirkt durch Isometrien. Wie oben können Sie jetzt Spinor-Felder einschließen. Dies zu einer supersymmetrischen Theorie zu erweitern ist relativ kompliziert, aber machbar. Eine Darstellung finden Sie zB in "Quantenfelder und Strings" (S. 304ff). (Diese Modelle ermöglichen Ihnen eine spontane Symmetriebrechung, wie Sie sie für supersymmetrische Erweiterungen des Standardmodells benötigen (siehe unten))

QCD ist der Teil des Standardmodells, der die starke Wechselwirkung beschreibt. Die starke Wechselwirkung wird vermittelt durch a$SU(3)$Yang-Mühlen-Feld$A$. Dies wird durch einen Begriff beschrieben

$$-\frac{1}{4}\langle F,F\rangle$$

Dann gibt es 3 Generationen von Fermionen: die Quarks. Jede Generation ist in den meisten Punkten identisch, sie sind nur durch die Yukawa-Kopplung verwandt. Jede Generation besteht aus einem (komplexen) Spinor$\psi$, mit Werten in einer irreduziblen Darstellung$V$aus der Gruppe$G = SU(3) \times SU(2) \times U(1)$. Die Vertretung von$SU(2)$(schwache Interaktion) unterscheidet zwischen den links- und rechtshändigen Teilen, den$SU(3)$Darstellung ist einfach die grundlegende Darstellung, schematisch die Kopplung an die$SU(3)$Yang-Mühlen-Feld$G$(die Gluonen) ist wieder

$$\frac{1}{2}\langle \psi, D_A \psi\rangle,$$

wo nochmal$D_A$ist der zugeordnete kovariante Dirac-Operator$G$und die Klammer kann aus darstellungstheoretischen Überlegungen konstruiert werden. Die Massenterme sind der komplizierte Teil: Sie müssen das (komplexe) Higgs-Boson kombinieren$\phi$, ein Skalar mit Werten in einer anderen irreduziblen Darstellung$H$von$G$(trivial$\times$Wams$\times$Hyperladung 1) und sein Antiteilchen, mit den links- und rechtshändigen Teilen von$V \oplus \bar{V}$, mit "Mischung" aller 3 Generationen. Sie überlegen sich a$3 \times 3$Matrix$M$(3 ist die Anzahl der Generationen) und fügen Sie einen Begriff hinzu, der all diese Darstellungen auf die einzig mögliche Weise kombiniert (Sie müssen die triviale Darstellung erhalten, genauer gesagt, Sie möchten einen Verflechter aus dieser großen Darstellung in der trivialen Darstellung)

Das ist ein riesiges Durcheinander, also studiert man die Yang-Mills-Theorie normalerweise mit einer Eichgruppe$SU(N)$zunächst an mehrere Generationen von Fermionenfeldern in der Fundamentaldarstellung gekoppelt. Schematisch:

$$L = -\frac{1}{4}\langle F,F\rangle + \frac{1}{2}\langle \psi, (D_A + M) \psi \rangle$$

Leider kenne ich den Begriff Susy QCD nicht, es gibt mehrere Erweiterungen des Standardmodells (z. B. MSSM), die alle funktionieren, indem sie Superpartner zu den vorhandenen Feldern hinzufügen (in der oben skizzierten Weise), solche Modelle enthalten natürlich auch einen Teil davon entspricht QCD und seiner "Super-Erweiterung".

[1]: Für ein schönes Cover$\{U_i\}_{i \in I}$von$M$eine solche Verbindung wird durch eine Familie von Liealgebra geschätzten Formen beschrieben$A_i \in \Omega^1(U_i,\mathfrak{g})$, so dass für jede Sammlung von Funktionen$g_{ij}\in C^\infty(U_i \cap U_j, G)$, die die Cocycle-Bedingung erfüllen$g_{ij}g_{jk} = g_{ik}$, gelten die folgenden Identitäten:

$$A_j = g^{-1}A_ig + g^{-1}dg$$
(Wie gesagt, macht das nur Sinn, wenn $G$ist eine Matrixgruppe, aber die Transformationsregel auf der rechten Seite ist wirklich die Summe der adjungierten Aktion auf $A_i$und der Pullback der Maurer-Cartan-Form.)

Diese Frage ist so etwas wie die Frage: "Was ist der Unterschied zwischen einem klassischen harmonischen Oszillator und Newtons zweitem Gesetz?" Nun, der harmonische Oszillator erfüllt Gleichungen, die durch Newtons zweites Gesetz aufgestellt wurden.

Die Yang-Mills-Theorie ist eher ein (verzeihen Sie mein Französisch) Paradigma als eine "Theorie", in dem Sinne, dass Yang-Mills einen Rahmen für Theorien wie QCD aufstellt (im Gegensatz zu einer Hypothese).

Als "Eingabe" benötigt Yang-Mills eine bestimmte Spurweite. Dies ist normalerweise eine "ausreichend schöne" Lie-Gruppe (IIRC, kompakt, verbunden und einfach verbunden).

QCD ist eine Theorie, die den Yang-Mills-Rahmen verwendet, insbesondere wenn wir die Aufmerksamkeit auf die Eichgruppe SU(3) beschränken.

Das „Nette“ an Yang-Mills ist, dass es uns die Maxwell-Gleichungen zurückgibt, wenn wir U(1) als Gauge-Gruppe einsetzen. Yang-Mills ist also wirklich eine sehr gute Maschine!

Eine gute Referenz für die Yang-Mills-Theorie ist, zumindest meiner Meinung nach, John Baez' Gauge Fields, Knots, and Gravity .

Für Super-Yang-Mühlen, so wie ich es verstehe (und ich behaupte nicht, dass), ermöglichen Sie der Gauge-Gruppe, eine Super-Lie-Gruppe zu sein. Was macht es "super"? Nun, Sie haben eine$\mathbb{Z}_{2}$Einstufung. Mit anderen Worten: Sie haben fermionische Typen und bosonische Typen (die jeweils ungerade und gerade sind).

Super Yang-Mills schließt Fermionen in das Modell ein. Es scheint mir, dass Sie einfach ein masseloses fermionisches Feld einbeziehen, und es passieren ziemlich interessante Dinge. Meine einzigen Referenzen dazu sind:

1. Pierre Deligne, Daniel Freed, et al., Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians , vol. I, Kapitel 6: Supersymmetrische Yang-Mills-Theorien, S. 299–311.
2. Green, Schwarz und Witten, Superstring-Theorie , vol. I, Anhang 4.A: Super Yang–Mills Theories, S. 244–247.