Erhaltene topologische Ladung für d=3 Yang-Mills. G=U(2)

Question

Erhaltene topologische Ladung für d=3 Yang-Mills. G=U(2)

Federico Carta

Betrachten Sie eine reine Yang-Mills- Lagrange-Dichte

L = - \frac{1}{4} F_{A}^{μ v} F_{μ v}^{A}

$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F^{\mu\nu}_aF^a_{\mu\nu}$ mit Messgerätegruppe

U (2)

$U(2)$ .

Nehmen Sie die Generatoren für $U(2)$ sein $t_0$ , $t_i \ i=1,...,3$ mit Kommutierungsbeziehungen gegeben durch

[T_{0}, T_{ich}] = 0

$[t_0,t_i]=0$

[T_{ich}, T_{J}] = ich ϵ_{ich J k} T_{k}

$[t_i,t_j]=i\epsilon_{ijk}t_k$ Insbesondere

t_{0}

$t_0$ ist der Erzeuger der

u (1)

$\mathfrak{u(1)}$ Faktor bei der Erweiterung

u (2) ≃ u (1) \times s u (2)

$\mathfrak{u(2)}\simeq \mathfrak{u(1)}\times \mathfrak{su(2)}$ Und

t_{i}

$t_i$ sind die Generatoren der Lügenalgebra

s u (2)

$\mathfrak{su(2)}$ .

Jetzt in $d=3$ die Feldstärke Hodge-dual ist ein Strom $j^{\mu}:=\frac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\rho}F_{\nu\rho}$ und wird aufgrund der Bianchi-Identität konserviert.

Die Fragen sind:

1) Was ist gemeint, wenn sie sagen, dass der Strom erhalten bleibt? Ist es kovariant konserviert (d.h $D_{\mu}j^{\mu}$ =0) oder einfach konserviert (dh $\partial_{\mu}j^{\mu}=0$ )

2) Habe ich nur einen Vektorstrom oder einen für jeden Generator der Messgerätegruppe? (dh 4 in diesem Fall)

3) Können Sie die Berechnung des Erhaltungsstroms und der Ladung explizit durchführen?

4) Ich werde gebeten anzugeben, ob die Erhaltungsladung aufgrund des Faktors entsteht $U(1)$ der Eichgruppe (die eine Algebra hat, die von generiert wurde $t_0$ ), wegen des Faktors $U(1)$ das ist die Cartan-Unteralgebra von $SU(2)$ (erzeugt von $t_3$ ) oder weil beides. [Ich verstehe diese Frage wirklich nicht, was würden Sie antworten? Danke.]

Der Teil der Berechnung, den ich durchgeführt habe, ist der folgende.

F_{μ v}^{0} = \partial_{μ} A_{v}^{0} - \partial_{v} A_{μ}^{0}

$F^0_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A^0_{\nu}-\partial_{\nu}A^0_{\mu}$

F_{μ v}^{ich} = \partial_{μ} A_{v}^{ich} - \partial_{v} A_{μ}^{ich} + G ϵ^{ich J k} A_{μ}^{J} A_{v}^{k}

$F^i_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A^i_{\nu}-\partial_{\nu}A^i_{\mu}+g\epsilon^{ijk}A_{\mu}^jA^k_{\nu}$

Daher mit Bianchi habe ich

0 = D_{μ} ϵ^{μ v ρ} F_{v ρ}^{0} = (\partial_{μ} - ich G A_{μ}) ϵ^{μ v ρ} (\partial_{v} A_{ρ}^{0} - \partial_{ρ} A_{v}^{0})

$0=D_\mu\epsilon^{\mu\nu\rho}F^0_{\nu\rho}=(\partial_{\mu}-igA_{\mu})\epsilon^{\mu\nu\rho}(\partial_{\nu}A^0_{\rho}-\partial_{\rho}A^0_{\nu})$

während für die andere Seite

0 = D_{μ} ϵ^{μ v ρ} F_{v ρ}^{ich} = (\partial_{μ} - ich G A_{μ}) ϵ^{μ v ρ} (\partial_{v} A_{ρ}^{ich} - \partial_{ρ} A_{v}^{ich} + G ϵ^{ich J k} A_{μ}^{J} A_{v}^{k})

$0=D_\mu\epsilon^{\mu\nu\rho}F^i_{\nu\rho}=(\partial_{\mu}-igA_{\mu})\epsilon^{\mu\nu\rho}(\partial_{\nu}A^i_{\rho}-\partial_{\rho}A^i_{\nu}+g\epsilon^{ijk}A_{\mu}^jA^k_{\nu})$

Was kann ich von hier aus tun? Es scheint mir, dass die Strömungen

J_{0}^{μ} = ϵ^{μ v ρ} (\partial_{v} A_{ρ}^{0} - \partial_{ρ} A_{v}^{0})

$j^{\mu}_0=\epsilon^{\mu\nu\rho}(\partial_{\nu}A^0_{\rho}-\partial_{\rho}A^0_{\nu})$ Und

J_{ich}^{μ} = ϵ^{μ v ρ} (\partial_{v} A_{ρ}^{ich} - \partial_{ρ} A_{v}^{ich} + G ϵ^{ich J k} A_{v}^{J} A_{ρ}^{k})

$j^{\mu}_i=\epsilon^{\mu\nu\rho}(\partial_{\nu}A^i_{\rho}-\partial_{\rho}A^i_{\nu}+g\epsilon^{ijk}A_{\nu}^jA^k_{\rho})$

sind beide kovariant erhalten ...

Vielen Dank für Antworten und Erläuterungen.

Federico Carta

Dieser Artikel erklärt auf den ersten Seiten, warum der Strom im Fall von d = 3 QED (was U (1) Yang-Mills ist) erhalten bleibt, aber dennoch ganz anders ist ...

Vibert

Sie bitten uns, die ganze Arbeit zu erledigen, ohne sich selbst anzustrengen. Für 1) schreiben Sie, dass der Strom wegen der Bianchi-Identität erhalten bleibt. Aber im nächsten Satz bitten Sie uns, die Stromerhaltung zu beweisen. 2) ist wirklich Lehrbuchmaterial. Es ist dasselbe wie zu fragen, ob es nur ein "Gluon" gibt

A_{μ}

$A_\mu$ oder mehrere. 3.) ist ebenfalls eine Lehrbuchfrage. Viele von uns kennen die Antwort, aber es ist Zeitverschwendung, all diese Berechnungen aufzuschreiben, wenn sie in jedem QFT-Lehrbuch stehen, zB Peskin-Schroeder (das Kapitel über nicht-Abelsche Eichtheorien).

Federico Carta

Ich habe mich bemüht. Ich habe einen Teil der Berechnung durchgeführt (soweit ich kann), komme aber nicht zur richtigen Antwort. Ich kann es posten, wenn Sie wollen, oder nicht glauben, ich habe es zuerst versucht und dann gefragt. Ich habe mir auch Peskin-Schroeder angesehen, aber im ganzen Buch gibt es nichts Vergleichbares. Sie behandeln nur gewöhnliche Yang Mills in 4 Dimensionen und nicht in d=3. Wenn es sich wirklich um Lehrbuchmaterial handelt, könnten Sie ein Buch vorschlagen, in dem sie Yang-Mills in d = 3 behandeln? Ich glaube, dass es 4 verschiedene Strömungen gibt, aber dann verstehe ich Punkt 4) nicht.

Vibert

Nun, der einzige Unterschied zwischen

S U (3)

$SU(3)$ und Ihr Fall liegt wirklich in den Strukturkonstanten, richtig? Sie tauchen wiederum im Ausdruck for auf

F_{μ ν} .

$F_{\mu \nu}.$ Versuchen Sie, die Unterschiede aufzuschreiben (falls Sie dies noch nicht getan haben).

j_{μ}^{a}

$j_\mu^a$ in Bezug auf die Strukturkonstanten. Auch im Allgemeinen, wenn Sie etwas Arbeit geleistet haben, sollten Sie es immer posten - das hilft den Leuten zu sehen, was schief läuft und wo Sie Tipps brauchen.

Federico Carta

Richtig. Der einzige Unterschied besteht in den Strukturkosten. Ich werde so schnell wie möglich die Berechnung posten, die ich gemacht habe. Ich habe die vier Ströme berechnet, und sie sind offensichtlich verschieden, aber keiner von ihnen wird einfach konserviert. Ist es möglich? Und wie kann man eine erhaltene Ladung ohne eine gewöhnliche Kontinuitätsgleichung definieren? Ist es möglich, dass eine Linearkombination auf den Strom bezogen wird

t_{0}

$t_0$ und der zugehörige Strom

t_{3}

$t_3$ wird einfach konserviert, wodurch 4) beantwortet wird, dass "die konservierte Ladung" aus beiden U (1) -Faktoren entsteht?

Trimok

@FedericoCarta: Hinweise: Aus Wiki- und Bianchi-Identitäten (Sie können die Indizes explizit ersetzen

μ, ν, ρ

$\mu,\nu,\rho$ , usw.. durch

1, 2, 3

$1,2,3$ wenn es dir klarer ist), hast du die Gleichung für die "Erhaltung" deines dualen Stroms. Betrachten Sie den Unterschied zwischen

f^{o i j}

$f^{oij}$ Und

f^{i j k}

$f^{ijk}$ , und Sie werden den Unterschied zwischen "Erhaltung" von sehen

j_{0}^{μ}

$j^\mu_0$ und "Erhaltung" von

j_{i}^{μ}

$j^\mu_i$

Federico Carta

f^{0 i j} = 0 \forall i, j

$f^{0ij}=0 \ \forall \ i,j$ während

f^{i j k} = ϵ^{i j k}

$f^{ijk}=\epsilon^{ijk}$ . Ich habe dies und ich habe die Bianchi-Identität für das

F_{μ ν}^{0}

$F^0_{\mu\nu}$ ist natürlich anders als die für

F_{μ ν}^{i}

$F^i_{\mu\nu}$ , verstehe aber immer noch nicht, ob sie einfach oder kovariant konserviert sind. In wenigen Minuten werde ich alle Berechnungen posten, die ich gemacht habe

Trimok

@FedericoCarta: Hinweise: Für jede Matrix

X = X^{a} T_{a}

$X= X^aT_a$ , Die Definition von

" D_{μ} X "

$"D_\mu X"$ oder

" [D_{μ}, X] "

$"[D_\mu,X]"$ (eine Notation, die zum Beispiel in den Bianchi-Identitäten verwendet wird) ist

D_{μ} X = [D_{μ}, X] = \partial_{μ} X - i g [A_{μ}, X]

$D_\mu X = [D_\mu,X] = \partial_\mu X -ig [A_\mu, X]$ (siehe zum Beispiel Formeln

4.29, 4.30

$4.29, 4.30$ in diesem Papier ). Sie müssen keinen detaillierten Ausdruck für haben

j^{μ}

$j^\mu$ , verwenden Sie einfach die Definition von

j^{μ}

$j^\mu$ in Funktion der

F_{μ ν}

$F_{\mu\nu}$

Federico Carta

ϵ^{μ ν ρ} D_{μ} F_{ν ρ} = ϵ^{μ ν ρ} \partial_{μ} F_{ν ρ} + ϵ^{μ ν ρ} [A_{μ}^{a} t_{a}, F_{ν ρ}^{b} t_{b}] = ϵ^{μ ν ρ} \partial_{μ} F_{ν ρ} + ϵ^{μ ν ρ} f^{a b c} A_{μ}^{a} F_{ν ρ}^{b}

$\epsilon^{\mu\nu\rho}D_{\mu} F_{\nu\rho}=\epsilon^{\mu\nu\rho}\partial_{\mu}F_{\nu\rho}+\epsilon^{\mu\nu\rho}[A^a_{\mu} t_a,F^b_{\nu\rho}t_b]=\epsilon^{\mu\nu\rho}\partial_{\mu}F_{\nu\rho}+\epsilon^{\mu\nu\rho}f^{abc}A^a_{\mu}F^b_{\nu\rho}$ Und deshalb für

b = 0

$b=0$ (das ist der Strom, der zugeordnet ist

t_{0}

$t_0$ ) Ich habe, dass es einfach konserviert wird. Während für

b = i i = 1, 2.3

$b=i \quad i=1,2.3$ es ist nicht einfach, sondern kovariant konserviert. Daher kann ich Frage 4) mit der Aussage beantworten, dass die erhaltene topologische Ladung aus dem Faktor stammt

U (1)

$U(1)$ der Spurweite Gruppe und nicht der

U (1)

$U(1)$ generiert durch

t_{3}

$t_3$ ?!

Antworten (1)

Erhaltene topologische Ladung für d=3 Yang-Mills. G=U(2)

Dieser Artikel erklärt auf den ersten Seiten, warum der Strom im Fall von d = 3 QED (was U (1) Yang-Mills ist) erhalten bleibt, aber dennoch ganz anders ist ...
Sie bitten uns, die ganze Arbeit zu erledigen, ohne sich selbst anzustrengen. Für 1) schreiben Sie, dass der Strom wegen der Bianchi-Identität erhalten bleibt. Aber im nächsten Satz bitten Sie uns, die Stromerhaltung zu beweisen. 2) ist wirklich Lehrbuchmaterial. Es ist dasselbe wie zu fragen, ob es nur ein "Gluon" gibt $A_\mu$ oder mehrere. 3.) ist ebenfalls eine Lehrbuchfrage. Viele von uns kennen die Antwort, aber es ist Zeitverschwendung, all diese Berechnungen aufzuschreiben, wenn sie in jedem QFT-Lehrbuch stehen, zB Peskin-Schroeder (das Kapitel über nicht-Abelsche Eichtheorien).
Ich habe mich bemüht. Ich habe einen Teil der Berechnung durchgeführt (soweit ich kann), komme aber nicht zur richtigen Antwort. Ich kann es posten, wenn Sie wollen, oder nicht glauben, ich habe es zuerst versucht und dann gefragt. Ich habe mir auch Peskin-Schroeder angesehen, aber im ganzen Buch gibt es nichts Vergleichbares. Sie behandeln nur gewöhnliche Yang Mills in 4 Dimensionen und nicht in d=3. Wenn es sich wirklich um Lehrbuchmaterial handelt, könnten Sie ein Buch vorschlagen, in dem sie Yang-Mills in d = 3 behandeln? Ich glaube, dass es 4 verschiedene Strömungen gibt, aber dann verstehe ich Punkt 4) nicht.
Nun, der einzige Unterschied zwischen $SU(3)$ und Ihr Fall liegt wirklich in den Strukturkonstanten, richtig? Sie tauchen wiederum im Ausdruck for auf $F_{\mu \nu}.$ Versuchen Sie, die Unterschiede aufzuschreiben (falls Sie dies noch nicht getan haben). $j_\mu^a$ in Bezug auf die Strukturkonstanten. Auch im Allgemeinen, wenn Sie etwas Arbeit geleistet haben, sollten Sie es immer posten - das hilft den Leuten zu sehen, was schief läuft und wo Sie Tipps brauchen.
Richtig. Der einzige Unterschied besteht in den Strukturkosten. Ich werde so schnell wie möglich die Berechnung posten, die ich gemacht habe. Ich habe die vier Ströme berechnet, und sie sind offensichtlich verschieden, aber keiner von ihnen wird einfach konserviert. Ist es möglich? Und wie kann man eine erhaltene Ladung ohne eine gewöhnliche Kontinuitätsgleichung definieren? Ist es möglich, dass eine Linearkombination auf den Strom bezogen wird $t_0$ und der zugehörige Strom $t_3$ wird einfach konserviert, wodurch 4) beantwortet wird, dass "die konservierte Ladung" aus beiden U (1) -Faktoren entsteht?
@FedericoCarta: Hinweise: Aus Wiki- und Bianchi-Identitäten (Sie können die Indizes explizit ersetzen $\mu,\nu,\rho$ , usw.. durch $1,2,3$ wenn es dir klarer ist), hast du die Gleichung für die "Erhaltung" deines dualen Stroms. Betrachten Sie den Unterschied zwischen $f^{oij}$ Und $f^{ijk}$ , und Sie werden den Unterschied zwischen "Erhaltung" von sehen $j^\mu_0$ und "Erhaltung" von $j^\mu_i$
$f^{0ij}=0 \ \forall \ i,j$ während $f^{ijk}=\epsilon^{ijk}$ . Ich habe dies und ich habe die Bianchi-Identität für das $F^0_{\mu\nu}$ ist natürlich anders als die für $F^i_{\mu\nu}$ , verstehe aber immer noch nicht, ob sie einfach oder kovariant konserviert sind. In wenigen Minuten werde ich alle Berechnungen posten, die ich gemacht habe
@FedericoCarta: Hinweise: Für jede Matrix $X= X^aT_a$ , Die Definition von $"D_\mu X"$ oder $"[D_\mu,X]"$ (eine Notation, die zum Beispiel in den Bianchi-Identitäten verwendet wird) ist $D_\mu X = [D_\mu,X] = \partial_\mu X -ig [A_\mu, X]$ (siehe zum Beispiel Formeln $4.29, 4.30$ in diesem Papier ). Sie müssen keinen detaillierten Ausdruck für haben $j^\mu$ , verwenden Sie einfach die Definition von $j^\mu$ in Funktion der $F_{\mu\nu}$
$\epsilon^{\mu\nu\rho}D_{\mu} F_{\nu\rho}=\epsilon^{\mu\nu\rho}\partial_{\mu}F_{\nu\rho}+\epsilon^{\mu\nu\rho}[A^a_{\mu} t_a,F^b_{\nu\rho}t_b]=\epsilon^{\mu\nu\rho}\partial_{\mu}F_{\nu\rho}+\epsilon^{\mu\nu\rho}f^{abc}A^a_{\mu}F^b_{\nu\rho}$ Und deshalb für $b=0$ (das ist der Strom, der zugeordnet ist $t_0$ ) Ich habe, dass es einfach konserviert wird. Während für $b=i \quad i=1,2.3$ es ist nicht einfach, sondern kovariant konserviert. Daher kann ich Frage 4) mit der Aussage beantworten, dass die erhaltene topologische Ladung aus dem Faktor stammt $U(1)$ der Spurweite Gruppe und nicht der $U(1)$ generiert durch $t_3$ ?!

Trimok · Answer 1

Mit $X= X^at_a$ , haben wir die folgende Notation: $D_\mu X = [D_\mu,X] = \partial_\mu X -ig [A_\mu, X]$

Die Bianchi-Identitäten sind geschrieben:

\begin{matrix} (1) & D_{λ} F_{μ v} + D_{v} F_{λ μ} + D_{μ} F_{v λ} = 0 \end{matrix}

$D_\lambda F_{\mu\nu} + D_\nu F_{\lambda\mu} + D_\mu F_{\nu\lambda} = 0 \tag{1}$ Wir dürfen wählen

λ, μ, ν = 0, 1, 2

$\lambda, \mu, \nu = 0,1,2$ , also haben wir :

\begin{matrix} (2) & D_{0} F_{12} + D_{2} F_{01} + D_{1} F_{20} = 0 \end{matrix}

$D_0 F_{12} + D_2 F_{01} + D_1 F_{20} = 0 \tag{2}$

Aus der Definition von $j$ , wir haben :

\begin{matrix} (3) & J^{0} = F_{12}, J^{1} = F_{20}, J^{2} = F_{01} \end{matrix}

$j^0=F_{12}, j^1=F_{20}, j^2=F_{01}\tag{3}$

Aus $(2)$ Und $3$ , wir bekommen :

\begin{matrix} (4) & D_{μ} J^{μ} = D_{0} J^{0} + D_{1} J^{1} + D_{2} J^{2} = 0 \end{matrix}

$D_\mu j^\mu = D_0j^0+D_1j^1 +D_2j^2 = 0\tag{4}$

Das ist :

\begin{matrix} (5) & \partial_{μ} J^{μ} - ich G [A_{μ}, J^{μ}] = 0 \end{matrix}

$\partial_\mu j^\mu - ig[A_\mu, j^\mu]=0\tag{5}$

Nun können wir uns die anschauen $U(2)$ Koordinaten $(j^\mu)^a$ von $j^\mu$ , wir bekommen :

\begin{matrix} (6) & \partial_{μ} (J^{μ})^{A} + G F^{A B C} (A_{μ})_{B} (J^{μ})_{C} = 0 \end{matrix}

$\partial_\mu (j^\mu)^a +gf^{abc}(A_\mu)_b (j^\mu)_c=0\tag{6}$ Wir wissen das

f^{0 b c} = 0

$f^{0bc}=0$ (Weil

[t_{0}, t_{b}] = 0

$[t_0,t_b]=0$ für

b = 1, 2, 3

$b=1,2,3$ ), also erhalten wir:

\begin{matrix} (7) & \partial_{μ} (J^{μ})^{0} = 0 \end{matrix}

$\partial_\mu (j^\mu)^0 =0\tag{7}$

Wir sehen, dass die Strömung $(j^\mu)^0$ konserviert ist, und dies entspricht einer konservierten Ladung $Q^0 = \int d^2x (j^0)^0(x)$ . Das Konservierte $Q^0$ Ladung kommt von der $U(1)$ Generator $t_0$ , die mit der pendelt $SU(2)$ Generatoren $t_1,t_2,t_3$

Die anderen Strömungen $(j^\mu)^i$ , $i=1,2,3$ sind nicht konserviert, weil die $SU(2)$ Generatoren $t_1,t_2,t_3$ nicht mit sich selbst pendeln, zum Beispiel haben wir $\partial_\mu (j^\mu)^1 +g(A_\mu)_2 (j^\mu)_3=0$ (+ zyklische Permutationen).

Erhaltene topologische Ladung für d=3 Yang-Mills. G=U(2)

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Vibert

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Vibert

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Federico Carta

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