Bewegungsgleichungen für die Yang-Mills-SU(2)SU(2)SU(2)-Theorie

Die mit Skalaren/Fermionen usw. gekoppelte Lagrange-Theorie von Yang-Mills nimmt die Form an

$${\cal L}_{YM} = - \frac{1}{2} \text{Tr} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} + (D_\mu \phi) (D^\mu \phi)^* + i {\bar \psi} \gamma^\mu D_\mu \psi + \cdots$$ bei dem die $\cdots$repräsentiert andere Interaktionsterme, die vorhanden sein könnten. Lassen Sie mich die Notation im obigen Ausdruck erklären.

1. $\phi_i$Und$\psi_i$sind in manchen Darstellungen Multipletts$R$der Spurweite Gruppe$G$. Hier,$i = 1, \cdots, \dim R$

2. Die Generatoren in Darstellung$R$werden bezeichnet als$T^a$. Diese werden normalisiert, um sie zu erfüllen

   $$[T^a, T^b] = i f^{ab}{}_c T^c,~~~~ \text{Tr} ( T^a T^b )= \frac{1}{2}\delta^{ab}$$ Mit anderen Worten, die$T_{ij}^a$sind nur einige Matrizen, die die obigen Eigenschaften erfüllen.

3. Die auf die Felder wirkenden kovarianten Ableitungen sind

   $$\begin{align} (D_\mu \phi)_i &= \partial_\mu \phi_i - i g T^a_{ij} A_\mu^a \phi_j \\ (D_\mu \psi)_i &= \partial_\mu \psi_i - i g T^a_{ij} A_\mu^a \psi_j \\ \end{align}$$ Wo$(A_\mu)_{ij} = A_\mu^a T_{ij}^a$.

4. $$F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu + g [A_\mu, A_\nu ] \\ $$ Ausdrücklich $$F_{\mu\nu}^a = \partial_\mu A^a_\nu - \partial_\nu A_\mu^a + i g f_{bc}{}^a A^b_\mu A_\nu^c$$

Dies spezifiziert die Lagrange-Theorie von Yang Mills vollständig. Sie können nun das Variationsprinzip verwenden, um die Bewegungsgleichungen zu bestimmen.