SU(2)SU(2)SU(2) Yang-Mühlen EOM

Question

SU(2)SU(2)SU(2) Yang-Mühlen EOM

kηives

Ich habe Probleme mit einigen Indizes auf meinem Yang-Mühlen-Lagrangian. Ich habe eine Messgruppe $SU(2)$ und ein Feldstärketensor

F_{A B}^{ich} = \partial_{A} A_{B}^{ich} - \partial_{B} A_{A}^{ich} + ϵ_{J k}^{ich} A_{A}^{J} A_{B}^{k}

$F_{ab}^{i}=\partial_{a}A^{i}_{b}-\partial_{b}A^{i}_{a}+\epsilon^{i}_{\,\,jk}A^{j}_{a}A^{k}_{b}$ und ein Lagrange

L = - \frac{1}{4} F_{A B}^{ich} F_{ich}^{A B}

$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{ab}^{i}F_{i}^{ab}$ Ich habe am Ende der Übung, dass die richtigen EOM sind

\partial^{A} F_{A B}^{ich} + ϵ_{k}^{ich J} A_{J}^{A} F_{A B}^{k} = 0

$\partial^{a}F_{ab}^{i}+\epsilon^{ij}_{\;\;\;k}A^{a}_{j}F^{k}_{ab}=0$ Ich bekomme den ersten Term auf der linken Seite, aber den zweiten Term bekomme ich stattdessen etwas etwas anderes, wenn ich den Lagrangian treffe

\partial L / \partial A_{a}^{i}

$\partial \mathcal{L}/\partial A_{a}^{i}$ Ich bekomme einen Begriff

ϵ_{j k}^{i} A_{b}^{k} F_{i}^{a b}

$\epsilon^{i}_{\,\,jk} A_{b}^{k}F_{i}^{ab}$ was einen frei lässt

j

$j$ Index. Jetzt weiß ich, dass summierte Indizes keine Rolle spielen und Buchstaben frei ändern können, aber Reihenfolge und Kontraktion spielen eine Rolle, jetzt bin ich mir nicht sicher, wie ich es mit übereinstimmenden Indizes herausbringen soll. Wenn ich es tue

\partial_{a} \partial L / \partial (\partial_{a} A_{b}^{i})

$\partial_a \partial \mathcal{L}/\partial (\partial_{a}A_{b}^{i})$ Ich komme mit dem typischen heraus

\partial_{a} F_{i}^{a b}

$\partial_a F^{ab}_{i}$ aber mein kostenloser Index ist da

i

$i$ , nicht

j

$j$ , und ich kann sie nicht dazu bringen, für mein ganzes Leben zusammenzupassen.

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David z · Answer 1

Ohne die Details zu sehen, wie Sie die Ableitung nehmen, kann ich nicht sicher sein, aber mein erster Gedanke ist, sich zu fragen, ob Sie Indizes mehrfach verwenden. Angenommen, Sie nehmen die Ableitung in Bezug auf $A_a^i$ ; Du wirst kriegen

\frac{\partial L}{\partial A_{A}^{ich}} = - \frac{1}{4} \frac{\partial}{\partial A_{A}^{ich}} [F_{A B}^{ich} F_{ich}^{A B}] = - \frac{1}{4} \frac{\partial F_{A B}^{ich}}{\partial A_{A}^{ich}} F_{ich}^{A B} - \frac{1}{4} \frac{\partial F_{ich}^{A B}}{\partial A_{A}^{ich}} F_{A B}^{ich}

$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A_a^i} = -\frac{1}{4}\frac{\partial}{\partial A_a^i}\bigl[F_{\color{red}{ab}}^{\color{red}i} F_{\color{red}i}^{\color{red}{ab}}\bigr] = -\frac{1}{4}\frac{\partial F_{\color{red}{ab}}^{\color{red}i}}{\partial A_a^i}F_{\color{red}i}^{\color{red}{ab}} -\frac{1}{4}\frac{\partial F_{\color{red}i}^{\color{red}{ab}}}{\partial A_a^i}F_{\color{red}{ab}}^{\color{red}i}$

Im Auswertungsprozess $\frac{\partial F_{\color{red}{ab}}^{\color{red}i}}{\partial A_a^i}$ , ziehen sich die Indizes im Zähler nicht mit denen im Nenner zusammen, aber das wird leicht übersehen, wenn Sie nicht die Farben haben, um sie zu unterscheiden.

Ich würde vorschlagen, dass Sie beim Beschriften des Felds, nach dem Sie differenzieren, Indizes verwenden, die nirgendwo im Lagrange erscheinen, wie folgt:

\frac{\partial L}{\partial A_{C}^{N}} = - \frac{1}{4} \frac{\partial F_{A B}^{ich}}{\partial A_{C}^{N}} F_{ich}^{A B} - \frac{1}{4} \frac{\partial F_{ich}^{A B}}{\partial A_{C}^{N}} F_{A B}^{ich}

$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A_c^n} = -\frac{1}{4}\frac{\partial F_{ab}^{i}}{\partial A_c^n}F_{i}^{ab} -\frac{1}{4}\frac{\partial F_{i}^{ab}}{\partial A_c^n}F_{ab}^{i}$

Dann besteht keine Gefahr, versehentlich die falschen Indizes zu kontrahieren. Wenn Sie sich auf die Ebene der Differenzierung einzelner Felder begeben, landen Sie bei einigen Kronecker-Deltas,

\frac{\partial A_{A}^{ich}}{\partial A_{C}^{N}} = δ_{A}^{C} δ_{N}^{ich}

$\frac{\partial A_a^i}{\partial A_c^n} = \delta_a^c \delta_n^i$

Wenn Sie ein kontravariantes Feld differenzieren, können Sie die Metrik verwenden, um Indizes nach Bedarf zu erhöhen und zu verringern.

\frac{\partial A_{ich}^{A}}{\partial A_{C}^{N}} = \frac{\partial}{\partial A_{C}^{N}} δ_{ich M} G^{A D} A_{D}^{M} = G^{A C} δ_{ich N}

$\frac{\partial A_i^a}{\partial A_c^n} = \frac{\partial}{\partial A_c^n}\delta_{im}g^{ad}A_d^m = g^{ac} \delta_{in}$

$\delta_{im}$ ist die Metrik für $SU(2)$ Konfigurationsbereich, wenn ich mich recht erinnere.

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kηives

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David z

kηives

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