Infinitesimale Eichinvarianz von Yang – Mills Lagrangian

$$F^2 \to F^2 + \alpha_i f^{ijk} F_{j\mu\nu} F_k^{\mu\nu}$$ $f^{ijk}$ist in all seinen Indizes vollständig antisymmetrisch und wird mit etwas kontrahiert, das innen symmetrisch ist $jk$. Die Wirkung ist also unveränderlich.

Wir können das sehen$f^{ijk}$ist wie folgt total antisymmetrisch

$$[T^i , T^j] = f^{ij}{}_k T^k \implies \text{tr} \left( [ T^i , T^j ] T^k \right) = f^{ij}{}_\ell \text{tr} \left( T^\ell T^k \right) = f^{ij}{}_\ell \delta^{\ell k } = f^{ijk}$$ Daher, $$f^{ikj} = \text{tr} \left( [ T^i , T^k ] T^j \right) = \text{tr} \left( [ T^j , T^i ] T^k \right) = - \text{tr} \left( [ T^i , T^j ] T^k \right) = - f^{ijk}$$ Die zweite obige Gleichheit ist auf die Zyklizität der Spur zurückzuführen. Daher, $f^{ijk} = f^{i[jk]}$. Aber klar $f^{ijk} = f^{[ij]k}$. Zusammen impliziert dies $f^{ijk} = f^{[ijk]}$.