Der Faddeev-Popov-Lagrangian

Dies ist eine nicht-abelsche Fortsetzung dieser QED-Frage.

Die Lagrangedichte für eine nicht-abelsche Eichtheorie mit Eichgruppe G , und mit eingeschlossenen Fermionfeldern und Geisterfeldern ist gegeben durch

L = ψ ¯ ( ich γ μ D μ − M ) ψ + ∑ k = 1 schwach ⁡ ( G ) [ − 1 4 F μ v k F μ v k + 1 2 ξ ( ∂ μ A μ k ) 2 + ∑ ich = 1 schwach ⁡ ( G ) C ¯ k ( − ∂ μ D μ k ich ) C ich ] .
Wie funktioniert der dritte Term (derjenige, der enthält ξ ) ins Bild kommen? Der erste Term ist die Standard-Fermion-Lagrange-Interaktion mit einem Eichfeld, der zweite Term ist der Standardterm für Eichbosonen, und der vierte entsteht durch die Einführung der Geisterfelder. . . aber was ist mit dem dritten?

Antworten (3)

Ich würde denken, dass fast jedes Lehrbuch, das das Faddeev-Popov-Lagrangian enthält, es auch erklärt, aber Sie können auch Erklärungen im Internet finden, z. B. eine von Faddeev selbst in Scholarpedia:

http://www.scholarpedia.org/article/Faddeev-Popov_ghosts

Die FP-Ghosts werden benötigt, um die Einheitlichkeit auf Einschleifenebene wiederherzustellen, und sind die wichtigsten neuen Akteure der "modernen kovarianten (BRST) Quantisierung" von Theorien mit Eichsymmetrien. Ihre Existenz lässt sich am einfachsten in Feynmans wegintegralem Ansatz zur Eichtheorie erklären. Am Ende gilt es, die Eichsymmetrie „eichfestzulegen“, dh einen bestimmten Vertreter physikalisch äquivalenter Feldkonfigurationen zu wählen, um (unendlich-fache) Mehrfachzählungen zu vermeiden. Das bedeutet, dass wir effektiv eine Deltafunktion in das Pfadintegral einfügen.

Jedoch, δ ( k X ) ist nicht dasselbe wie δ ( X ) : es ist | k | mal kleiner. In ähnlicher Weise wird für eine mehrdimensionale Delta-Funktion oder Delta-Funktion das Verhältnis durch eine Jacobi-Zahl (Determinante der Ableitungsmatrix) angegeben. Das einzige legitime Delta-Funktional wäre eines, das eine bestimmte (triviale) Eichtransformation auferlegt. Die Messgeräte-Befestigungsbedingungen möchten jedoch andere Entscheidungen treffen, wie z A 3 = 0 und ein entsprechender Jacobi muss eingefügt werden, um dieses Delta-Funktional in das richtige umzuwandeln. Der Jacobi ist eine Determinante, die als Pfadintegral über neue fermionische Felder ausgedrückt werden kann.

Man kann auch die Notwendigkeit von FP-Geistern motivieren, indem man die BRST-Quantisierung basierend darauf diskutiert Q , eine nilpotente BRST-Ladung, die gehorcht Q 2 = 0 , ein nützliches Werkzeug zur Beschreibung physikalischer Zustände in allen Theorien mit Eichsymmetrien. Physikalische Zustände sind Kohomologien von Q . Diese Vorlage der Antwort eliminiert automatisch sowohl die Zustände, die gegen die Gauß-Einschränkung (und ihre Verallgemeinerungen) verstoßen, als auch Zustände, die "reine Messgeräte" sind, und die FP-Geister werden benötigt, um solche zu definieren Q .

Der Begriff ( ∂ ⋅ A ) 2 / 2 ξ ist ein bestimmter Term-Fixing-Begriff, der die Redundanz der Messgeräte eliminiert und eine Indikator-Fixierungsbedingung auferlegt, in diesem Fall erlegt er "sanft" die Lorenz- (nicht Lorentz!) Bedingung auf. Wir können uns vorstellen, dass man dem Eichfeld neben den Bewegungsgleichungen noch eine weitere Nebenbedingung auferlegt, die Lorenz-Bedingung. Aber abgesehen von diesem Term, der durch einen anderen ersetzt werden könnte, wenn wir uns für eine andere Eichfixierungsbedingung entscheiden, muss man immer noch die FP-Terme einbeziehen, zumindest in nicht-abelschen Eichtheorien.

In dem Scholarpedia-Artikel schaue ich mir den Teil an, der mit „Eine weitere Verbesserung wurde von 't Hooft eingeführt …“ beginnt. Es scheint fast so, als ob der Begriff, über den ich mich wundere, von Hand eingefügt wurde, indem eine allgemeinere Befestigungsbedingung für das Messgerät zugelassen wurde. Bei dieser allgemeineren Bedingung trägt die relevante Delta-Funktion zum Lagrange-Operator einen Term ungleich Null bei. Wenn ich das richtig verstehe, ist das alles schön und gut, aber wozu die allgemeinere Bedingung? Ist ∂ μ A μ k nicht ausreichend? Verkompliziert dies nicht nur die Sache durch die Einführung eines zusätzlichen Begriffs?
Lieber Jonathan, der komplizierte letzte FP-Term muss neben dem Gradiententerm vorhanden sein, sonst würden Sie die Eichinvarianz verletzen, dh die Entkopplung von Längspolarisationen auf der Ebene einer Schleife. Nur für Elektromagnetismus, dh abelsche Eichfelder, kann man die Dinge so organisieren, dass der FP-Begriff ziemlich unnötig ist. Aber für nicht-Abelsche Yang-Mills-Theorien gibt es keinen solchen Weg. ∂ μ A μ kann Lorentz-invariant sein, aber es ist nicht eichen-invariant und selbst wenn Sie es durch ersetzen ∇ μ A μ , es ist nicht. Der FPterm wird einfach immer benötigt, um die richtige Normalisierung von Delta zu erhalten

Der dritte Term ist der Term zur Fixierung des Messgeräts, den Sie sich vorstellen können 1 / 2 ξ als Lagrange-Multiplikator. Der EOM für ξ die Lehrenbefestigung durchführen. Das ist das intuitive Bild, die Quantisierung von Eichsystemen kann auf verschiedenen Ebenen der Komplexität behandelt werden, glücklicherweise ist die Yang-Mills-Theorie ein relativ einfacher Fall.

Tangentiale Frage: Kann ich die Randbedingungsbeschränkung auch als Term zur Festlegung des Messgeräts implementieren?
Denken Sie an den Parameter zur Befestigung des Messgeräts ξ als Lagrange-Multiplikator ist bestenfalls als Merkhilfe zu verstehen. Da er nicht dynamisch festgelegt ist und frei gewählt werden kann, handelt es sich nicht wirklich um einen Lagrange-Multiplikator.

Der dritte Term ist ein Term zur Fixierung des Messgeräts. Zu diesem Zeitpunkt hat der Wikipedia-Artikel über die Befestigung von Messgeräten einen schönen Abschnitt darüber, hier: https://en.wikipedia.org/wiki/Gauge_fixing#R.CE.BE_gauges Diese drücken die sogenannten aus R ξ Messgeräte - mit ξ = 1 genannt Feynman-'t Hooft-Messgerät, und das lim ξ → 0 Dabei handelt es sich um das Landau-Messgerät, die Grenze, die nach Abschluss der Berechnungen genommen wird.

Der Faddeev-Popov-Lagrangian
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