Eichinvarianz in der klassischen Elektrodynamik

Question

Eichinvarianz in der klassischen Elektrodynamik

Physik
Yang-Mühlen
Eichtheorie
Eichinvarianz
lagrangescher Formalismus

Caims

Ich glaube, ich verstehe das Konzept der Eichinvarianz nicht vollständig. Angenommen, wir haben einen Lagrange-Operator für klassische ED, der lautet:

L = - \frac{1}{4} (F_{μ v})^{2} - J^{μ} A_{μ} .

$\mathcal{L} = -\frac{1}{4} (F_{\mu \nu})^2 - j^{\mu}A_{\mu}.$ Der erste Teil mit Maxwell-Tensor ist natürlich eichinvariant. Nachdem ich mein A wie verwandelt habe

A^{μ} \to A^{μ} + \partial^{μ} f

$A^{\mu} \rightarrow A^{\mu} + \partial^{\mu} f$ ,

f

$f$ Funktion koppelt an Strom usw. und unser Lagrange-Operator ist nicht mehr eichinvariant, Bewegungsgleichungen funktionieren immer noch und sind unabhängig von f.

Meine Fragen sind:

Benötigen wir volle Lagrangedichte, um eichinvariant zu sein, oder nur Bewegungsgleichungen?
Was ist in anderen Theorien wie der Fall $SU(2)$ oder $SU(3)$ Eichtheorien?

Meng Cheng

j^{μ}

$j^\mu$ erhalten bleiben, also ist die Lagrange-Funktion tatsächlich unveränderlich.

Antworten (3)

Eichinvarianz in der klassischen Elektrodynamik

$j^\mu$ erhalten bleiben, also ist die Lagrange-Funktion tatsächlich unveränderlich.

Ján Lalinský · Answer 1

Benötigen wir volle Lagrangedichte, um eichinvariant zu sein, oder nur Bewegungsgleichungen?

Mit neuem Potenzial $A'^\mu$ auch eine neue Lagrange-Dichte $\mathcal{L}'$ impliziert, was die gleiche Funktion ihrer Parameter (Potenzial) ist, aber im neuen Messgerät mit neuen Argumenten (Mengen, die zur Bewertung der Funktion eingegeben werden) verwendet werden soll. Nämlich $A'^\mu$ wird stattdessen verwendet $A^\mu$ . Es ist also dieselbe Funktion, kann aber für einen bestimmten Raumzeitpunkt einen anderen Wert haben $\mathbf x,t$ weil unterschiedliche Potentiale genutzt werden.

Mit der Spurumwandlung

A^{μ} \to A^{' μ} = A^{μ} + \partial^{μ} F

$A^\mu \rightarrow A'^\mu = A^\mu + \partial^\mu f$

der Wert der neuen Lagrange-Dichte für den Punkt $\mathbf x,t$ Ist

L^{'} = - \frac{1}{4} F^{' μ v} F_{μ v}^{'} + J^{μ} A_{μ}^{'}

$\mathcal{L}' = -\frac{1}{4}F'^{\mu\nu}F'_{\mu\nu} + j^\mu A'_\mu$

während der Wert der alten Lagrange-Dichte für denselben Punkt ist

L = - \frac{1}{4} F^{μ v} F_{μ v} + J^{μ} A_{μ} .

$\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} + j^\mu A_\mu.$

Die FF-Terme haben den gleichen Wert, da der FF-Term eine Funktion von eicheninvarianten Feldern ist $\mathbf E,\mathbf B$ , aber die jA-Terme haben einen anderen Wert. Die neue Lagrange-Dichte hat einen um den Betrag höheren Wert

J^{μ} \partial_{μ} F .

$j^\mu\partial_\mu f.$

Dieser Wertunterschied zwischen den beiden Lagrange-Dichten führt jedoch zu keinem Unterschied in den Werten von Handlungen

S [A^{μ}] = \int_{v} D^{3} X \int_{T_{1}}^{T_{2}} D T L (A^{μ})

$S[A^\mu] =\int_V\, d^3 \mathbf x \int_{t_1}^{t_2}\, dt \mathcal{L}(A^\mu)$

S^{'} [A^{' μ}] = \int_{v} D^{3} X \int_{T_{1}}^{T_{2}} D T L^{'} (A^{' μ})

$S'[A'^\mu] =\int_V\, d^3 \mathbf x \int_{t_1}^{t_2}\, dt \mathcal{L}'(A'^\mu)$

Wenn $\mathbf j$ oder $\nabla f$ verschwinden an der Grenze der Region $V$ die ganze Zeit und $\rho$ oder $\partial_tf$ verschwinden zeitweise $t_1,t_2$ überall. Das liegt daran, dass der Unterschied

\int_{v} D^{3} X \int_{T_{1}}^{T_{2}} D T J^{μ} \partial_{μ} F .

$\int_V\, d^3\mathbf x \int_{t_1}^{t_2}\,dt~ j^\mu\partial_\mu f.$

verwandeln kann in

\int_{v} D^{3} X \int_{T_{1}}^{T_{2}} D T \partial_{μ} (J^{μ} F) - \int_{v} D^{3} X \int_{T_{1}}^{T_{2}} D T \partial_{μ} J^{μ} F .

$\int_V\, d^3\mathbf x \int_{t_1}^{t_2}\,dt~ \partial_\mu(j^\mu f) -\int_V\, d^3\mathbf x \int_{t_1}^{t_2}\,dt~ \partial_\mu j^\mu f.$

Das zweite Integral ist wegen der Gleichung Null

\partial_{μ} J^{μ} = 0

$\partial_\mu j^\mu = 0$ dass die Stromdichte gehorcht und das erste Integral in ein Oberflächenintegral (über den Satz von Gauß) umgewandelt werden kann und Null ist, wenn die obigen Bedingungen gelten.

Zusammenfassung: Sowohl die Lagrange-Dichte als auch die Aktion sind eichunabhängig als Funktionen ihrer Parameter - Potentiale. Der Lagrange-Dichtewert ist jedoch nicht eichunabhängig, da der Parameter einen anderen Wert hat - $A'^\mu$ anstatt $A^\mu$ . Der Aktionswert ist messgerätunabhängig, da die Differenz in der Lagrange-Dichte integriert wird, um einen Nullbeitrag zu liefern.

ACuriousMind · Answer 2

Wenn Sie den Lagrange-Operator mit einem externen Quellenstrom schreiben $j^\mu$ , dann müssen Sie das Erhaltungsgesetz verwenden $\partial_\mu j^\mu = 0$ um auf die Invarianz der Lagrange-Funktion zu schließen. Dies ist nicht "on-shell" (was machen würde $\delta S=0$ wahr per Definition unter jeder infinitesimalen Transformation), weil hier $j^\mu$ ist keine dynamische Variable, und ihr Erhaltungssatz wird uns als zusätzliche Off-Shell-Information gegeben , um die Eichinvarianz des Modells sicherzustellen.

So ist $j^{\mu}$ U(1)-Strom, den wir aus dem Noether-Theorem erhalten können, angewendet auf eine freie Theorie, und dann fügen wir ihn als linearen Term in der Lagrangian hinzu $A^{\mu}$ Feld?
@Caims: Ja, das ist eine Möglichkeit. Eine andere besteht darin, überhaupt keinen externen Strom zu geben, sondern Ihr Eichfeld durch Ersetzen minimal an ein bestimmtes Materiefeld zu koppeln $\partial_\mu\mapsto\partial_\mu + A_\mu$ (Anzeichen und Faktoren von $\mathrm{i}$ weggelassen) im Lagrangian für das Materiefeld, und das nur inspizieren, was das Ergebnis ist $j^\mu$ ist (dann ist es auch tatsächlich der erhaltene Strom für die globale Version der Eichsymmetrie).

Timäus · Answer 3

Eichinvariant sind die Bewegungsgleichungen. Aber die Leute werden sagen, dass die Lagrange-Funktion eicheninvariant ist, wenn sie damit meinen, dass sich die Lagrange-Funktion um eine totale Ableitung ändert (was die Bewegungsgleichungen dazu zwingt, gleich zu sein).

Viele Lagrangianer geben die gleichen Bewegungsgleichungen an. Fügen Sie eine Konstante hinzu. Multipliziere mit einem Skalar ungleich Null. Fügen Sie eine Funktion hinzu, die eine totale Ableitung ist. Gleiche Bewegungsgleichungen.

Aber da wir uns all diese Lagrange-Operatoren als im Wesentlichen die gleichen Lagrange-Operatoren vorstellen ( weil sie die gleichen Bewegungsgleichungen liefern), wenn wir sagen , dass ein Lagrange-Operator eicheninvariant ist, meinen wir nicht, dass es derselbe Lagrange-Operator ist, wenn Sie die Eichung ändern. Wir meinen , dass Sie beim Ändern der Eichung eine Lagrange-Funktion erhalten, die sich durch eine totale Ableitung unterscheidet.

Speziell in Ihrem Fall, wenn Sie die Spurweite wechseln, das elektromagnetische Feld $F$ ändert sich nicht, also ist der Unterschied zwischen den beiden Lagrangianern nur der 4-Strom $J$ mal eine Ableitung von $f$ und da der 4-Strom eine Kontinuitätsgleichung erfüllt, ergibt eine partielle Integration, dass dieser Term gleich einer Gesamtableitung ist.

Ihr Lagrange hat also buchstäblich eine andere Funktion, wenn Sie die Spurweite ändern. Es ist zufällig eine, die sich durch eine totale Ableitung unterscheidet (und Ihnen daher die gleichen Bewegungsgleichungen gibt). Und indem wir den Ausdruck "Eichinvarianz einer Lagrange-Funktion" so definieren , dass er sich in etwas ändert, das sich durch eine Gesamtableitung unterscheidet, können wir sagen , dass die Lagrange-Funktion eichinvariant ist (obwohl sie sich ändert).

Es ändert sich zu etwas, das nah genug ist. Die Eichtransformation ist keine Symmetrie der Lagrange-Funktion, aber man könnte von einer Quasi-Symmetrie der Aktion sprechen. Noch so eine andere Sache. Sie können diesen Beitrag über die Aktion sehen , wie von ACuriousMind vorgeschlagen.

Eine Aktion und ein Lagrange sind unterschiedlich. Sie haben sogar unterschiedliche Einheiten. Und im verlinkten Beitrag sehen Sie, dass sich eine Quasi-Symmetrie der Aktion durch ein Grenzintegral unterscheidet, und hier sprechen wir über Lagrange-Operatoren, die sich durch eine Gesamtableitung unterscheiden. Aber es ist das gleiche Thema. Wenn Sie einen Lagrange-Operator integrieren, wird ein totaler Ableitungsterm im Lagrange-Operator zu einem Grenzintegral der Aktion.

Invarianz der Bewegungsgleichungen ist ein eigenständiger Begriff von der Invarianz der Lagrangefunktion bis hin zu totalen Ableitungen, vgl. diese Antwort von Qmechanic . Insbesondere ist es der Begriff der Lagrangeschen (Quasi-)Symmetrie (verwenden Sie „quasi“, wenn Sie die „bis zur totalen Ableitung“ verdeutlichen wollen), der Erhaltungssätze nach Noethers Theorem erzwingt, während eine bloße Symmetrie der Bewegungsgleichungen nicht.

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