Lehrenfixierung und Bewegungsgleichungen

1. Hier gehen wir davon aus, dass wir letztendlich die vollständige Quantentheorie betrachten wollen, die normalerweise in Form eines eichfesten Pfadintegrals geschrieben wird

   $$Z~=~\int \!{\cal D}\phi~ \exp\left(\frac{i}{\hbar}S_{\rm gf}[\phi]\right) \tag{1}$$ und nicht nur die klassische Aktion und die entsprechenden klassischen Bewegungsgleichungen (mit oder ohne Terme zur Fixierung der Lehre). Wenn die Eichbahnen ein unendliches Volumen haben (was oft der Fall ist), müssen wir das Pfadintegral eichfest machen.

   Wenn wir natürlich ein Feld in der Aktion durch eine eichfixierende Bedingung brachial eliminieren, dann können wir keine Variation der Aktion mehr in Bezug auf dieses Feld durchführen, und wir hätten Informationen verloren.

2. Wir betrachten hier jedoch nur einen „weicheren“ Weg, die Eichbedingungen über Lagrange-Multiplikatoren aufzuerlegen , die linear oder quadratisch in der eichfesten Aktion auftreten können. Der lineare Fall führt direkt zu Deltafunktionen im Wegintegral, die die Eichbedingungen auferlegen; während der quadratische Fall zu Gaußschen Termen im Pfadintegral führt, die Feldkonfigurationen unterdrücken (aber nicht vollständig verbieten), die die Eichfixierungsbedingung verletzen. (In einer bestimmten Skalierungsgrenze werden die Gaußschen Faktoren jedoch zu Deltafunktionen.)

   Zusammen mit den ursprünglichen Feldern sind die (nicht propagierenden Hilfs-) Lagrange-Multiplikatoren Teil der Felder$\phi$in das Pfadintegral, das über integriert wird. Insbesondere die lehrenfeste Aktion$S_{\rm gf}[\phi]$auch bezüglich dieser Lagrange-Multiplikatorfelder variiert werden.

   Diese "sanft auferlegten" Begrenzungsbedingungen für die Begrenzungslinie wirken sich immer noch auf die Variation der Aktion aus (im Gegensatz dazu, daß die Begrenzungsbedingungen für die Begrenzungslinie nicht auferlegt werden). Eine relevantere Frage ist jedoch:

   Hängen die eichinvarianten physikalischen Observablen der Theorie von der spezifischen Eichfixierungsbedingung ab (z. B. Lorenz-Eichung, Coulomb-Eichung usw.)?

   Die Antwort ist nein, dh innerhalb der Klasse der konsistenten eichfixierenden Terme in der Aktion hat die spezifische Form der eichfixierenden Terme in den entsprechenden Bewegungsgleichungen keine physikalischen Konsequenzen.

3. Für allgemeinere Eichtheorien sind die Bewegungsgleichungen zB nicht eichinvariant, und es ist besser, die Eichsymmetrie über eine (verallgemeinerte) fermionische nilpotente BRST-Symmetrie zu codieren $\delta$das Quadrat zu Null

   $$\delta^2~=~0,\tag{2}$$ und bewahrt die ursprüngliche Aktion $$\delta S_0~=~0.\tag{3}$$ Die lehrenfeste Aktion $$S_{\rm gf}=S_0+\delta\psi\tag{4}$$ ist die ursprüngliche Aktion$S_0$plus einen BRST-genauen Begriff$\delta\psi$das hängt vom sogenannten eichfixierenden Fermion ab$\psi$, die die Bedingungen zur Befestigung des Messgeräts codiert.

   Ein physisch beobachtbares Objekt$F=F[\phi]$in der Theorie ist es per Definition erforderlich, BRST-geschlossen zu sein

   $$\delta F~=~0.\tag{5}$$

   Stellungnahme. Wenn das Wegintegralmaß BRST-invariant ist, dann die Korrelationsfunktion für eine physikalische Observable

   $$\langle F[\phi] \rangle ~=~ \frac{ \int \!{\cal D}\phi~ F[\phi]\exp\left(\frac{i}{\hbar}S_{\rm gf}[\phi]\right)} {\int \!{\cal D}\phi~ \exp\left(\frac{i}{\hbar}S_{\rm gf}[\phi]\right)} \tag{6}$$ ist unabhängig vom eichfixierenden Fermion$\psi$.

   Lemma 1. Wenn$F$ist BRST-geschlossen und$\delta G$BRST-genau ist, dann das Produkt$F\delta G$ist BRST-genau.

   Lemma 2. Die Korrelationsfunktion

   $$\langle \delta F \rangle ~=~0\tag{7}$$ einer BRST-genauen Observable verschwindet.

   Das Lemma 2 folgt durch Annahme$\delta$ein hermitescher Operator sein.

   Beweis der Aussage: Wenn$\widetilde{\psi}$ein weiteres eichfixierendes Fermion ist, dann kann man mit Lemma 1 zeigen, dass der Unterschied zwischen dem$F$-Observables für verschiedene eichfixierende Fermionen$\widetilde{\psi}$Und$\psi$Ist

   $$\left\{ \exp\left(\frac{i}{\hbar}\delta(\widetilde{\psi}-\psi)\right)-1\right\}F~=~\delta(\ldots), \tag{8}$$ die BRST-exakt ist und daher eine verschwindende Korrelatorfunktion hat, vgl. Lemma 2.$\Box$

   Wir sollten betonen, dass das eichfixierende Fermion bestimmte Rangbedingungen erfüllen muss und zB nicht identisch Null gewählt werden kann.

4. Lassen Sie uns schließlich erwähnen, dass eine noch größere Klasse von Lagrange-Eichtheorien mit Hilfe des Batalin-Vilkovisky (BV)-Formalismus behandelt werden kann.

Nein, es ist nicht immer konsequent, zuerst das Messgerät zu fixieren, bevor Bewegungsgleichungen abgeleitet werden. Betrachten wir den an Materie gekoppelten Elektromagnetismus. Man kann eine Eichtransformation zum Setzen durchführen$A_0=0$. Wenn dies jedoch in der Aktion vor der Ableitung der Bewegungsgleichungen erfolgt, dann verpasst man die$A_0$Bewegungsgleichung, die die Erhaltung der elektrischen Ladung garantiert.

Bei dem Versuch, hinreichend symmetrische Lösungen herzuleiten, ist es manchmal möglich, bereits auf der Einwirkungsebene mit der Wahl eines geeigneten Ansatzes zu beginnen. Dies ist jedoch eine Art Kunst und stimmt nicht garantiert mit den vollständigen Bewegungsgleichungen überein, die mit demselben Ansatz bewertet werden.