Können wir nicht-invariante Eichterme in einer Eichtheorie zulassen?

Spurvariantenterme in der Handlung treten in zwei unterschiedlichen Fällen auf:

1) Wenn wir die Eichtheorie quantisieren wollen, müssen wir immer den Eich fixieren. Um das Messgerät korrekt zu fixieren (was die Reduzierung der Anzahl der Konfigurationen der Messgerätefelder beinhaltet, über die wir integrieren), müssen wir die Aktion modifizieren, indem wir Geister einführen – die Felder mit unbestimmter Norm im Hilbert-Raum. Bei nicht-abelschen Theorien (und bei den abelschen, wenn wir im Eichfeld die nichtlineare Eichfixierungsbedingung auferlegen) ist die resultierende Wirkung nicht eichinvariant - zumindest unter "üblichen" Eichtransformationen . Anstelle dieser "üblichen" Symmetrie tritt jedoch eine andere Symmetrie auf, die die Eichinvarianz realisiert - die sogenannte BRST-Symmetrie. Die resultierende Aktion ist BRST-invariant,

2) In bestimmten Theorien (chirale Eichtheorien) werden diese Identitäten durch die sogenannte Eichanomalie gebrochen. Die Anomalie ist in der 3-Punkt-Wirkwirkung kodiert, die die Information über das Dreiecksdiagramm mit hineinlaufenden Fermion-Chiralströmen enthält; Tatsächlich ist es eine Schleife genau. Es erzeugt den anomalen Messstrom$J^{\mu}$Erhaltung,

$$\partial_{\mu}J^{\mu} = A(x), \quad \text{where } A(x) \ \text{is the anomaly functional}$$ Obwohl das Anomaliefunktional lokal ist (dh es ist das Integral des Polynoms von Ableitungen im Impulsraum), ist die effektive Wirkung $\Gamma$die Anomalie erzeugen, $$\tag 1 \delta_{\epsilon}\Gamma = -\int A(x)\cdot \epsilon ,$$ ist nicht lokal, also können Sie keinen Gegenbegriff hinzufügen, der mit der Anomalie zusammenfällt, ohne die Lokalität der Theorie zu brechen.

3) Wenn die anfängliche Eichtheorie anomaliefrei (dh eichinvariant) ist, aber zwischen verschiedenen Fermionen eine nicht-triviale Eichanomalieaufhebung vorliegt, dann muss nach dem Integrieren einiger dieser Fermionen die entsprechende effektive Aktion die feste Eichung enthalten -Variantenterme, um die Eichinvarianz zu erhalten. In der Literatur werden diese Begriffe Wess-Zumino-Terme genannt. In konsistenten eichinvarianten Theorien sind sie lokal! Dies liegt daran, dass diese Theorien typischerweise den Skalarsektor beinhalten, der als Goldstone-Feldersektor interpretiert wird. Es könnte als Higgs-ähnlicher Sektor dienen, der mit dem Higgs-Mechanismus verbunden ist, oder die physikalischen Teilchen wie das pseudoskalare Meson-Oktett sein. Es stellt sich heraus, dass der Pol der nicht-lokal wirkenden Wirkung von den Goldsteinen „absorbiert“ wird$\varphi$, und statt der nicht-lokalen Aktion haben wir Begriffe wie

$$\tag 2 \Gamma_{WZ} \simeq \int d^{4}x \varphi (x) A(x)$$ Unter der Eichtransformation haben wir $\varphi(x) \to \varphi(x) +\epsilon$, also die Spurweite von $(2)$reproduziert $(1)$.

Naiv gesprochen kann ein eichinvarianter Lagrange in einer Quantenfeldtheorie (QFT) keine Nicht-Eichinvariante haben, da das Vorhandensein eines solchen Terms die Theorie nicht renormierbar machen würde. Deshalb hat eine unserer bekanntesten Theorien – die Quantenelektrodynamik (QED) – nur eichinvariante Terme.

So dachten die meisten Quantenfeldtheoretiker bis Ende der 1960er Jahre. Die Entdeckung der Idee der renormalisierbaren Gruppe (RG) in der QFT hat zu einer Änderung der Einstellungen geführt. Die RG-Idee half uns auch zu verstehen, warum die Renormierung in einer QFT funktioniert und warum es vollkommen richtig ist, zwei unendliche Größen zu subtrahieren, um ein endliches Ergebnis zu erhalten.

Eine eng mit RG verbundene Idee ist die effektive Feldtheorie. Die effektive Feldtheorie ist eine Möglichkeit, eine gegebene QFT so umzuformulieren, dass ein Grenzwert auf die Impuls- oder Energieskala der Theorie angewendet wird, wobei nur renormierbare Terme beibehalten werden. Trotz des Vorhandenseins eines Grenzwerts ist es möglich, die Kontinuumsgrenze der Theorie wiederzugewinnen. Alle nicht renormierbaren Terme in der Theorie werden durch zunehmende Potenzen des Verhältnisses von Grenzenergie zu Planck-Energie unterdrückt. Diese Idee entstand 1974 aus der RG-Arbeit von Wilson und wurde von Weinberg in einer Reihe von Arbeiten von 1975 bis 1990 entwickelt.

Die Idee einer effektiven Feldtheorie hilft zu erklären, warum QED bei niedriger Energie nur 3 Terme hat und alle 3 Terme eichinvariant sind und die Theorie vollständig renormierbar ist. Warum sollte die Natur so freundlich sein? Die Antwort liegt in der Tatsache, dass diese Theorie tatsächlich eine unendliche Anzahl von nicht renormierbaren Termen enthält – einschließlich einer unendlichen Anzahl von nicht eichinvarianten Termen. Alle diese Terme werden bei niedriger Energie unterdrückt, wie im vorherigen Absatz beschrieben.

Um Ihre Frage abschließend zu beantworten, ja, ein Lagrangian für eine bestimmte QFT kann eine Nicht-Eichinvariante und daher einen nicht renormierbaren Term haben, aber eine effektive Theorieformulierung dieser Theorie würde einen solchen Term unterdrücken und praktisch keinen Beitrag zum Finale leisten Menge berechnet durch eine solche Theorie. Aber solche Terme warten auf uns, während wir Energieskalen nahe der Planck-Skala untersuchen!