Warum gilt die Ward-Identität für Eichtheorien?

Die Ward-Identitäten sind die Aussage, wenn wir die Streuamplitude für ein externes Photon mit Polarisation schreiben$\zeta$und Schwung$k$als$M = \zeta^\mu M_\mu$, dann haben wir$k^\mu M_\mu = 0$. Diese Gleichung ist wichtig, weil sie zeigt, dass die störenden Longitudinalpolarisationen proportional zum Photonenimpuls von allen physikalischen Prozessen entkoppeln, weil ihre Streuamplituden im Allgemeinen Null sind.

Die Ward-Identität gilt für jede Yang-Mills-Eichtheorie, in der das Eichfeld an einen konservierten Strom koppelt, und sie gilt auch für massive Vektorfeldtheorien , die keine Eichsymmetrien haben, vorausgesetzt, sie koppeln immer noch an einen Strom in Form von die Interaktion Lagrange Wesen$A^\mu j_\mu$Wo$j_\mu$ist eine Funktion der Materiefelder, mit denen das Eichfeld gekoppelt ist. Die Messinvarianz der Lagrange-Funktion und diese Form der Kopplung führen direkt zu den Ward-Identitäten durch die allgemeine Ward-Takahashi-Identität:

Für$j^\mu$den erhaltenen Strom einer globalen kontinuierlichen Symmetrie (die Teil jeder Eichsymmetrie ist), das haben wir

$$\partial_\mu \langle T j^\mu(x) \phi(x_1)\dots \phi(x_n)\rangle = - \mathrm{i}\sum_{j=1}^n \langle \phi(x_1)\dots\phi(x_{j-1}) \delta\phi(x_j)\phi(x_{j+1})\dots \phi(x_n)\tag{1}$$ gilt für alle Felder $\phi$, Wo $\delta \phi$ist die Variation von $\phi$unter der Symmetrie. Eine Streuamplitude, an der ein externes Photon beteiligt ist, ist schematisch dargestellt $$M(k) = \zeta^\mu \mathrm{i} \int \mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx} \partial_x^2 \langle T A_\mu(x)\cdot\text{other stuff}\rangle$$ und da $\frac{\delta S}{\delta A^\mu} = \partial_x^2 A_\mu(x) - j^\mu$hält klassisch, bekommen wir $$\partial_x^2 \langle TA_\mu(x) \dots\rangle = \langle T j_\mu(x) \dots \rangle + \text{contact terms}$$ bei Verwendung der Dyson-Schwinger-Gleichung . Die Kontaktbedingungen sind $n-1$-Punkt funktioniert und trägt nicht zum Verbundenen bei $n$-Punkt-Funktion, die wir zu berechnen versuchen, also können wir sie vernachlässigen.

Schließlich z$\zeta^\mu = k^\mu$, können wir die Fourier-Beziehung zwischen verwenden$k$Und$\partial$die zu ziehen$\zeta^\mu$in das Integral, das uns gibt$\partial_\mu\langle j^\mu\dots\rangle$innerhalb des Integrals. Nach Ward-Takahashi (Gl. (1)) besteht diese ebenfalls nur aus Kontakttermen, die nicht zur Streuamplitude beitragen, also$\zeta^\mu M_\mu = 0$.

Die einzigen Annahmen, die in dieses Argument einflossen, sind, dass wir eine globale kontinuierliche Symmetrie mit erhaltenem Strom haben$j_\mu$, und dass die Bewegungsgleichung für das Eichfeld ist$\partial_x^2 A = j_\mu$. Dies gilt für den abelschen Fall.

Für den nicht-Abelschen Yang-Mills-Fall werden die entsprechenden Identitäten komplizierter, obwohl sie immer noch aus der allgemeinen Logik der Ward-Takahashi-Identitäten folgen. Die nicht-Abelschen Versionen heißen Slavnov-Taylor-Identitäten und beinhalten auch die Faddeev-Popov-Geisterfelder, bedeuten aber effektiv auch, dass die Längspolarisation von allen physikalischen Prozessen abkoppelt.

Schließlich können wir die "Gleichheit" ansprechen

$$\lvert e,p\rangle = \lvert e',p'\rangle + Q\lvert \psi\rangle.$$ Dies sollte als eine Gleichheit betrachtet werden, die wir dem Hilbert-Zustandsraum auferlegen , um negative/Null-Norm-Zustände loszuwerden. A priori, $\lvert e,p\rangle$Und $\lvert e',p'\rangle$sind verschiedene Zustände, aber wir zwingen diese Gleichung in der üblichen Art und Weise eines Quotientenraums auf den physikalischen Zustandsraum auf. Zwei Elemente, die sich durch ein Bild von unterscheiden $Q$als gleich erklärt werden, genauer gesagt, der physikalische Hilbert-Raum ist die Kohomologie von $Q$, das ist, $\ker(Q)/\mathrm{im}(Q)$. Die Ward-Identität sorgt dafür, dass dieser Quotient physikalisch unbedenklich ist – nur weil die Längspolarisationen (die entsprechen $\mathrm{im}(Q)$in der nicht-Abelschen BRST-Formulierung) entkoppeln dürfen wir sagen, dass zwei Zustände, die sich nur durch eine solche Polarisation unterscheiden, gleich sind, da dies garantiert, dass die Streuamplituden aller Zustände, die wir gerade für gleich erklärt haben, tatsächlich gleich sind. Ohne die Ward-Identität ist das Bilden des Quotienten durch die Nullnormzustände physikalisch inkonsistent.