Invarianz des funktionalen Integrationsmaßes

Question

Invarianz des funktionalen Integrationsmaßes

Laie

Betrachten wir das Funktionsintegral:

\int D EIN e^{ich S [EIN]}

$\begin{equation} \int \mathcal{D} A e^{iS[A]} \end{equation}$ wo

S [A]

$S[A]$ ist die Aktion für

U (1)

$U(1)$ Spurweite und

D EIN \equiv D {EIN}_{0} D {EIN}_{1} D {EIN}_{2} D {EIN}_{3}; D {EIN}_{ich} = \prod_{x} d {EIN}_{ich} (x) .

$\begin{equation} \mathcal{D}A\equiv \mathcal{D}A_0 \mathcal{D}A_1 \mathcal{D}A_2 \mathcal{D}A_3; \\ \mathcal{D}A_i = \prod_x dA_i(x). \end{equation}$

Jetzt habe ich zwei Fragen:

1. Wie man zeigt, dass die Integrationsmaßnahme $\mathcal{D} A$ ist invariant unter der Eichtransformation:

{EIN}_{μ} (x) \to {EIN}_{μ} (x) + \frac{1}{e} \partial_{μ} a (x)

$\begin{equation} A_\mu (x) \to A_\mu (x) + \frac{1}{e}\partial_\mu \alpha(x) \end{equation}$ 2. Wie man zeigt, dass die Integrationsmaßnahme $\mathcal{D} A$ ist unter der Lorentz-Transformation invariant?

Werden

Hinweise: 1.

α (x)

$\alpha(x)$ ist eine Mengenfunktion, sie wird nicht wie variiert

A_{μ} (x)

$A_\mu(x)$ ist. 2. Wie ändert sich ein Maß bei einem Koordinatenwechsel bei der regulären Integration?

JoshPhysik

Hängt die Antwort darauf nicht von der Regulierungsbehörde ab? Konnte man sich nicht einen schrecklichen Regler ausdenken, der das Integrationsmaß nicht-eichinvariant machen würde?

BebopButUnsteady

@joshphysics: Sie können sicherlich Symmetrien mit einem nicht-kovarianten Regler brechen, aber es wird fast allgemein angenommen, dass man einen messgeräte-kovarianten Regler verwendet, da die Folgen der Nicht-Kovarianz der Messgeräte so schlimm sind.

Laie

@Will: Kannst du den Hinweis für Frage Nr. 2 ?

Werden

Lorentz-Transformationen dauern

A_{μ} \to A_{ν}^{'} = Λ_{ν}^{μ} A_{μ}

$A_\mu \rightarrow A^\prime_{\nu} = \Lambda_{\nu}^{\mu}A_{\mu}$ , Rechts? Betrachten Sie nun den Prozess, den Sie durchlaufen, wenn Sie Koordinaten bei der regulären Integration mehrerer Variablen ändern. Hoffentlich hilft das :)

Laie

@Will: In diesem Fall ist der Jacobi der Koordinatentransformation, det

(Λ_{ν}^{μ})

$(\Lambda^\mu_\nu)$ wird sein

\pm 1

$\pm 1$ .

Antworten (1)

Invarianz des funktionalen Integrationsmaßes

Hinweise: 1. $\alpha(x)$ ist eine Mengenfunktion, sie wird nicht wie variiert $A_\mu(x)$ ist. 2. Wie ändert sich ein Maß bei einem Koordinatenwechsel bei der regulären Integration?
Hängt die Antwort darauf nicht von der Regulierungsbehörde ab? Konnte man sich nicht einen schrecklichen Regler ausdenken, der das Integrationsmaß nicht-eichinvariant machen würde?
@joshphysics: Sie können sicherlich Symmetrien mit einem nicht-kovarianten Regler brechen, aber es wird fast allgemein angenommen, dass man einen messgeräte-kovarianten Regler verwendet, da die Folgen der Nicht-Kovarianz der Messgeräte so schlimm sind.
Lorentz-Transformationen dauern $A_\mu \rightarrow A^\prime_{\nu} = \Lambda_{\nu}^{\mu}A_{\mu}$ , Rechts? Betrachten Sie nun den Prozess, den Sie durchlaufen, wenn Sie Koordinaten bei der regulären Integration mehrerer Variablen ändern. Hoffentlich hilft das :)
@Will: In diesem Fall ist der Jacobi der Koordinatentransformation, det $(\Lambda^\mu_\nu)$ wird sein $\pm 1$ .

JamalS · Answer 1

In der Quantenfeldtheorie gehen wir bei der Manipulation des Pfadintegrals naiv davon aus, dass die Maße (oder genau genommen das Produkt aus Maß und Integrand) unter den Eichtransformationen invariant sind. In einer grundlegenden Arbeit demonstrierte Fujikawa den Fehler in dieser Annahme (in bestimmten Fällen) und wie man das Analogon eines Jacobi-Faktors für das Pfadintegral rigoros berechnet, das er verwendete, um die chirale Anomalie der Quantenelektrodynamik abzuleiten. Für eine vollständige Herleitung empfehle ich die Quellen:

Einführung in die Quantenfeldtheorie , von Peskin und Schroeder, Kapitel 19, pg. 651+
Beyond the Standard Model, Vorlesung 5 (13/14, Vorlesung von Prof. R. Mann), Perimeter Institute

Ich hoffe, dass diese einige Erläuterungen bezüglich der Änderung des Pfad-Integralmaßes unter einer allgemeinen Transformation der konstituierenden Felder liefern können.

Invarianz des funktionalen Integrationsmaßes

Laie

Werden

JoshPhysik

BebopButUnsteady

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Werden

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JamalS

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