Beispiele für "Einmessen einer globalen Symmetrie"

Hier ist ein einfaches Beispiel, eines der ersten, das Sie verstehen sollten. Die Theorie hat einen kostenlosen$U(1)$skalares Feld$\phi$In$d+1$Raumzeitdimensionen, diskutiert in der modernen Notation von Differentialformen. Die Lagrange-Dichte

$$L_0 = d\phi \wedge\star d\phi.$$

Dies hat eine offensichtliche globale Symmetrie$\phi \mapsto \phi + \theta$. Wenn wir eine lokale Variation durchführen, wo$\theta$eine kleine erste Ableitung hat, dann ist die Lagrange-Funktion nicht invariant, sondern bis auf Randterme

$$\delta L_0 = 2 \theta d\star d\phi + \mathcal{O}(\theta^2) = \theta\ dj + \mathcal{O}(\theta^2),$$

wo wir den Noetherstrom identifizieren$d$-form$j = \star d \phi$. Das Denkmalschutzgesetz

$$dj = 2 d\star d\phi = 0$$

ist äquivalent zu den Bewegungsgleichungen. Um diese Symmetrie abzuschätzen, koppeln wir an a$U(1)$Messfeld$A$. Minimale Kopplung ist

$$L_0 - A \wedge j = L_0 - 2 A \star d\phi.$$

Diese Aktion ist noch nicht eichinvariant, aber wir dürfen lokale Terme möglicherweise abhängig von hinzufügen$\phi$und mindestens zweiter Ordnung in$A$. Uns fehlt ein Begriff wie$A \wedge \star A$. Wenn wir alles zusammenfügen, bekommen wir

$$(d\phi - A) \wedge \star (d\phi - A).$$

Sie können überprüfen, ob dies eine triviale Theorie (!) ist. Beachten Sie, dass wir diesen Schritt nur an ein Hintergrundmessfeld gekoppelt haben. Wenn wir über integrieren wollen$A$Außerdem müssen wir ein Maß auswählen. Dieser letzte Schritt, der normalerweise als Eichung bezeichnet wird, ist nicht kanonisch, aber normalerweise verwenden wir dafür ein Gaußsches (Maxwell) Maß$A$und es ist in Ordnung. Wir bekommen immer noch eine triviale Theorie:$\phi$wirkt als Phase eines Higgs-Feldes für$A$.

Wenn jedoch stattdessen die Symmetrie war$\phi \mapsto \phi + 2\theta$, würden wir am Ende mit$j = 4 \star d\phi$und ein geeichter Lagrange

$$(d\phi - 2A) \wedge \star (d\phi - 2A),$$

was Sie überprüfen können, ist eine nichttriviale TQFT. Es ist das$\mathbb{Z}_2$Eichtheorie. Sie können sehen, dass diese Theorie a hat$\mathbb{Z}_2$1-Form-Symmetrie, die Sie, wenn Sie messen, zur obigen trivialen Theorie zurückführt.

PS. Sehr erfreut über das Interesse an höheren Symmetrien :)