Physikalischer Unterschied zwischen Eichsymmetrien und globalen Symmetrien

Die erste Antwort auf eine solche Frage muss immer lauten: Eine Eichsymmetrie hat keine „physikalische“ Bedeutung, sie ist ein Artefakt unserer Wahl für die Koordinaten/Felder, mit denen wir das System beschreiben (vgl. Eichsymmetrie ist keine Symmetrie? ). Welche Bedeutung hat es, dass das Vektorpotential nicht eindeutig ist? , "Quantisierung von Eichsystemen" von Henneaux und Teitelboim). Jede Eichsymmetrie der Lagrangefunktion ist äquivalent zu einer Zwangsbedingung im Hamiltonschen Formalismus, dh einer nicht-trivialen Beziehung zwischen den Koordinaten und ihren kanonischen Impulsen.

Grundsätzlich kann jede Eichsymmetrie eliminiert werden, indem in den reduzierten Phasenraum übergegangen wird, der weniger kanonische Freiheitsgrade hat. Die Eichsymmetrie hat keine physikalische Bedeutung in dem Sinne, dass man sie durch den Übergang zu einer (klassisch) äquivalenten Beschreibung des Systems beseitigen kann. Eine Eichtransformation hat keine physikalische Bedeutung, weil alle Zustände, die durch eine Eichtransformation in Beziehung stehen, physikalisch derselbe Zustand sind . Formal müssen Sie die Eichsymmetrie aus Ihrem Zustandsraum quotieren, um den tatsächlichen Zustandsraum zu erhalten.

Im Gegensatz dazu ist eine globale Symmetrie eine "echte" Symmetrie des Systems. Sie reduziert nicht die Freiheitsgrade des Systems, sondern entspricht „nur“ Erhaltungsgrößen (entweder durch Noethers Theorem in der Lagrange-Formulierung oder durch eine fast triviale Evolutionsgleichung im Hamilton-Formalismus). Es ist physikalisch in dem Sinne, dass Zustände, die damit verbunden sind, als "äquivalent" betrachtet werden können, aber sie sind nicht gleich.

Interessanterweise ergibt die globale Symmetrie für skalare QED einen ziemlich unbequemen "Noether-Strom" - einen, der vom Eichfeld abhängt (vgl. diese Antwort )! Die Aussage, dass der "Satz von Noether" uns Ladungs- / Teilchenzahlerhaltung gibt, ist im skalaren Fall nicht naiv wahr (aber im Dirac-Fall). Das Erhalten der Ladungserhaltung aus der Eichsymmetrie wird auch in Classical EM: clear link between Eichsymmetrie und Ladungserhaltung diskutiert .

Warum dann überhaupt eine so "dumme" Beschreibung verwenden, werden Sie sich vielleicht fragen. Die Antwort ist, dass es in der Praxis mehr Mühe macht, die überflüssigen Freiheitsgrade loszuwerden, als es wert ist. Es kann die offensichtliche Invarianz unter anderen Symmetrien (insbesondere die Lorentz-Invarianz) brechen, und es kann Hindernisse geben (z. B. Gribov-Obstruktionen ), um ein Messgerät konsistent zu fixieren. Die Quantisierung von Eichtheorien wird im BRST-Formalismus, in dem die Eichsymmetrie bewahrt und in der Quantentheorie implementiert wird, viel besser verstanden als im Dirac-Formalismus, der erfordert, dass Sie in der Lage sind, die Einschränkungen im Hamilton-Formalismus tatsächlich zu lösen.

Der Hauptunterschied zwischen einem Eichmaß und einer globalen Symmetrie besteht also darin, dass das eine Teil unserer theoretischen Beschreibung ist, während das andere eine Eigenschaft des Systems ist . Keine noch so große Spielereien machen eine Punktladung weniger kugelsymmetrisch (globale Rotationssymmetrie). Aber zB verschwindet die elektromagnetische Eichsymmetrie einfach, wenn wir anstelle des Viererpotentials elektrische und magnetische Felder betrachten. In diesem Fall verlieren wir jedoch die Fähigkeit, die kovariante Lagrange-Formulierung des Elektromagnetismus - den Strom - aufzuschreiben$J^\mu$ an einen anderen Vierervektor koppeln muss , und dieser Vierervektor ist einfach das Potential$A^\mu$.

Es gibt noch einen weiteren entscheidenden Aspekt von Eichsymmetrien: Jedes masselose Vektorboson ist zwangsläufig mit einer Eichsymmetrie verbunden (für einen Beweis siehe Weinbergs „Quantentheorie der Felder“ ). Anders geht es in einer konsequenten Quantenfeldtheorie nicht: Man will masselose Vektorbosonen wie Photonen – man bekommt eine Eichsymmetrie. Egal wie "unphysikalisch" diese Symmetrie ist - im kovarianten Rahmen der Quantenfeldtheorie haben wir einfach keine andere Wahl, als einen solchen Teilcheninhalt in Begriffen eines Eichfelds zu formulieren. Dies könnte man aus Sicht der Quantenfeldtheorie als die wahre "physikalische" Bedeutung von Eichsymmetrien ansehen. Geht man noch einen Schritt weiter, ist es das spontane Brechensolcher Symmetrien, die massive Vektorbosonen erzeugen. Eine Theorie der Vektorbosonen ist fast zwangsläufig eine Theorie der Eichsymmetrien.

Nebenbei bemerkt: Im Prinzip könnte man versuchen, jede nicht-anomale globale Symmetrie zu einer Eichsymmetrie zu machen (vgl. Wann kann eine globale Symmetrie geeicht werden? ). Die Frage ist, ob seine Messung neue physikalische Zustände erzeugt und ob diese Zustände zu Beobachtungen passen.

Dies ist eine sehr weit gefasste Frage, daher gibt es viele Möglichkeiten, sie zu beantworten. Hier ist eine Deutung.

Ein Hauptunterschied zwischen Eichsymmetrien und globalen Symmetrien besteht darin, dass Eichsymmetrien zu langreichweitigen Wechselwirkungen zwischen geladenen Teilchen führen; die Eichsymmetrie erfordert die Existenz eines masselosen Feldes, das sich über beliebig lange Distanzen ausbreiten kann (in einer lückenlosen Phase).

Die Unterscheidung wird am besten durch die der Eichsymmetrie zugeordnete Superauswahlregel charakterisiert. Daran erinnern, dass eine Quantenfeldtheorie mit Hilbert-Raum$\mathcal{H}$soll einer Superselektionsregel gehorchen, wenn der Hilbertraum als Summe geschrieben werden kann

$$\mathcal{H} = \bigoplus_n \mathcal{H}_n,$$ so dass für jeden lokalen Betreiber $\mathcal{O}(x)$, $$\langle n|\mathcal{O}(x)|m\rangle = 0$$ zum $n\neq m$, wo $|n\rangle$und $|m\rangle$sind willkürliche Zustände in $\mathcal{H}_n$und $\mathcal{H}_m$. Das $\mathcal{H}_n$werden als Superselection-Sektoren bezeichnet. Physikalisch tauchen Superselektionsregeln in Eichtheorien immer dann auf, wenn es Zustände mit weitreichendem Einfluss gibt, die nicht durch lokale Operatoren vernichtet werden können. Sie klassifizieren die langreichweitigen "Haare", die mit physischen Zuständen verbunden sind.

Im Kontext des von Ihnen erwähnten skalaren QED-Beispiels bricht der Hilbert-Raum in Superauswahlsektoren auf, die durch die Ladung gekennzeichnet sind$Q$verbunden mit konstanten U(1)-Eichtransformationen. Lokale eichinvariante Operatoren haben immer eine Ladung von Null und können die Ladung eines Zustands nicht ändern. Physikalisch erzeugt ein geladenes Teilchen ein elektrisches Feld mit großer Reichweite, das von keinem lokalen Operator in einem unendlichen räumlichen Volumen zerstört (oder erzeugt) werden kann. Dies ist das wesentliche Merkmal der Eichtheorien, die ich oben beschrieben habe.

Beim Abschalten der Eichkopplung führt die entsprechende globale U(1)-Symmetrie zu keiner solchen Superselektionsregel. Der Hilbert-Raum wird immer noch durch die Ladungszahl abgestuft, aber lokale Operatoren können unter der Symmetrie belastet werden. Es gibt kein "Langstreckenhaar", das mit einer globalen Symmetrie verbunden ist.

Auf die Gefahr hin, zu detailliert zu werden, sollte ich auf eine Subtilität hinweisen: Die obige Diskussion ging davon aus, dass sich die Eichtheorie in einer lückenlosen Phase befand. (Für das skalare QED-Beispiel wird dies als "Coulomb-Phase" bezeichnet). Andere Phasen können die Superauswahlregel verletzen. Zum Beispiel, wenn wir die Theorie so verformen$\phi$ein vev (in einheitlicher Spurweite) erwirbt, befindet sich die Theorie dann in einer Lückenphase (der "Higgs-Phase") und die Superauswahlregel bricht. Physikalisch sind geladene Teilchen von einem Ladungskondensat umgeben, das das langreichweitige elektrische Feld abschirmt. Staaten haben keine langreichweitigen Haare mehr und es gibt keine Superauswahlregel. Andererseits findet man nicht-abelsche Eichtheorien häufig in der „begrenzenden Phase“, die eine andere Art von Lückenphase ist, in der nicht-störende Effekte alle Zustände dazu zwingen, Nullladung zu tragen. Die Superselektionsregel wird gebrochen und es gibt keine langreichweitigen Wechselwirkungen.

Eine nette Diskussion in dieser Richtung finden Sie in Abschnitt 2 dieses Papiers .