Konservierter Strom in Skalar-QED

Betrachten Sie eine Theorie eines freien masselosen komplexen Skalars$\phi$die global erfährt$U(1)$Transformationen. Der dieser Symmetrie zugeordnete konservierte Strom ist der übliche Skalarstrom

$$J^\mu = i\left(\phi^\dagger \partial^\mu \phi - \partial^\mu\phi^\dagger \phi\right) \tag{1}$$

was auf der Schale divergenzfrei ist:

$$\partial_\mu J^\mu = \phi^\dagger \square \phi -h.c = 0 \tag{2}$$ seit $$\square\phi=0.\tag{3}$$

Wenn wir die messen$U(1)$, erwarten wir, dass die Eichsymmetrie die globale Stromerhaltung nicht beeinträchtigen sollte. Der Lagrange ist jetzt

$$-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} - (D_\mu\phi)^\dagger(D_\mu\phi) = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}- (\partial_\mu\phi)^\dagger(\partial_\mu\phi) - A_\mu J^\mu - A_\mu^2\phi^\dagger\phi \tag{4}$$ Wo $$D_\mu\phi = \partial_\mu \phi -i A_\mu \phi. \tag{5}$$

Die Bewegungsgleichung für das Photon sind

$$\partial_\mu F^{\mu\nu} = J^\mu + 2A_\mu\phi^\dagger\phi \tag{6}$$

was zu implizieren scheint, dass die globale Strömung nicht einmal konserviert wird, das heißt

$$\partial_\mu J^\mu = -2\partial_\mu\left[A^\mu \phi^\dagger \phi\right]. \tag{7}$$

Ist dieses Ergebnis falsch? Es widerspricht den Erwartungen. Die Theorie ist immer noch invariant unter global$U(1)$Transformationen, daher sollte der globale Strom erhalten bleiben.