Erhaltungsströme in der Quantenelektrodynamik

Question

Erhaltungsströme in der Quantenelektrodynamik

MKO

Ein allgemeiner Satz von Noether in der Feldtheorie besagt, dass eine infinitesimale Symmetrie der Wirkung zu einem erhaltenen Strom führt $j^\mu$ , dh $\partial_\mu j^\mu=0$ .

Im Folgenden möchte ich eine geringfügige Verallgemeinerung der folgenden wohlbekannten Situation in der QED betrachten. Die Lagrange-Dichte in QED ist

L = \bar{ψ} (ich γ^{μ} (\partial_{μ} + ich e A_{μ}) - M) ψ) - \frac{1}{4} F_{μ v} F^{μ v} .

$\mathcal{L}=\bar\psi (i\gamma^\mu(\partial_\mu+ieA_\mu)-m)\psi)-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}.$

L

$\mathcal{L}$ ist invariant unter der globalen Symmetrie

\begin{array}{rcl} ψ \to (1 + ich e ϵ) ψ, \\ \bar{ψ} \to (1 - ich e ϵ) \bar{ψ} \\ A_{μ} \to A_{μ}, \end{array}

$\begin{eqnarray} \psi\to (1+ie\epsilon)\psi,\\ \bar\psi\to (1-ie\epsilon)\bar\psi\\ A_\mu\to A_\mu, \end{eqnarray}$ Wo

ϵ

$\epsilon$ ist ein infinitesimaler Parameter. Es ist allgemein bekannt, dass die Anwendung des Noether-Theorems zu einem erhaltenen Strom führt

J^{μ} = - e \bar{ψ} γ^{μ} ψ .

$j^\mu=-e\bar\psi\gamma^\mu\psi.$ Der Betreiber

Q = \int d^{3} x j^{0} (x)

$Q=\int d^3x j^0(x)$ wird als elektrischer Ladungsoperator interpretiert und kommutiert mit dem Hamiltonoperator.

Das ist jedoch ebenso bekannt $\mathcal{L}$ unter allgemeineren lokalen Transformationen invariant ist. Daher könnte man versuchen, für jede solche Transformation einen Noetherstrom zu konstruieren. Genauer gesagt eine beliebige Funktion festlegen $f(x)$ . Dann $\mathcal{L}$ ist unveränderlich unter

\begin{array}{rcl} ψ \to (1 + ich e F ϵ) ψ, \\ \bar{ψ} \to (1 - ich e F ϵ) \bar{ψ}, \\ A_{μ} \to A_{μ} - (\partial_{μ} F) ϵ, \end{array}

$\begin{eqnarray} \psi\to (1+ief\epsilon)\psi,\\ \bar\psi\to (1-ief\epsilon)\bar\psi,\\ A_\mu\to A_\mu-(\partial_\mu f)\epsilon, \end{eqnarray}$ wo nochmal

ϵ

$\epsilon$ ist ein infinitesimaler Parameter. (Beachten Sie, dass die vorherige Transformation entspricht

f \equiv 1

$f\equiv 1$ .) Es ist einfach, den Noetherstrom zu berechnen:

J^{μ} = - F e (\bar{ψ} γ^{μ} ψ) + \partial_{v} F (\partial^{μ} A^{v} - \partial^{v} A^{μ}) .

$j^\mu=-fe(\bar\psi\gamma^\mu\psi)+\partial_\nu f(\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu).$

Hat der letztere Strom eine physikalische Interpretation? Spielt es in der Theorie eine Rolle? Allgemeiner kann man in jeder Eichtheorie (z. B. QCD) ähnliche Ströme für jede Eichtransformation erhalten. Sind sie nützlich?

HINZUGEFÜGT. Lassen Sie mich einen Kommentar hinzufügen, um meine Frage zu präzisieren. Wenn man eine Lie-Gruppe hat, die die Wirkung erhält, führt die Anwendung des Noether-Theorems und die Konstruktion von Ladungsoperatoren unter Verwendung dieser Ströme vermutlich zu einer Darstellung der Lie-Algebra dieser Gruppe (z. B. ist dies der Fall bei der Poincare-Gruppe, inneren Symmetrien und allgemeiner mit Supersymmetrien). Wenn also die Eichgruppe die Wirkung beibehält, würde man erwarten, dass ihre Lie-Algebra auf dem Hilbert-Raum der Theorie wirkt. Im Falle der QED würde man eine Darstellung im Hilbert-Raum der Theorie der kommutativen (unendlichdimensionalen) Lie-Algebra reellwertiger Funktionen erhalten $\mathbb{R}^{3+1}$ . Ich frage mich, ob dies tatsächlich der Fall ist. Was ich in der Literatur gesehen habe, ist nur ein Ladungsoperator $Q=-e\int d^3x \cdot \bar\psi(x)\gamma^0\psi(x)$ dem Strom entsprechend $-e\bar\psi\gamma^\mu\psi$ was der Drehung mit der konstanten Phase entspricht, die ich zuerst im Beitrag erwähnt habe.

QMechaniker

Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/112367/2451 und Links darin.

MKO

@Qmechanic: Danke, der Verweis bezieht sich auf meine Frage, beantwortet sie aber nicht: Es gibt keine Diskussion über die physikalische Bedeutung und Anwendung der konstruierten Ströme.

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Erhaltungsströme in der Quantenelektrodynamik

Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/112367/2451 und Links darin.
@Qmechanic: Danke, der Verweis bezieht sich auf meine Frage, beantwortet sie aber nicht: Es gibt keine Diskussion über die physikalische Bedeutung und Anwendung der konstruierten Ströme.

Mario I. Caicedo · Answer 1

Süße Frage.

Erlauben Sie mir bitte zu sagen, dass die globalen infinitesimalen Transformationen, die Sie am Anfang schreiben, nichts anderes sind als die infinitesimalen Formen der folgenden globalen $U(1)$ Transformation.

Nun, der Lagrange, den Sie zeigen, ist unter solchen globalen Transformationen trivial invariant, aber er ist auch unter den lokalen invariant:

ψ \to e^{ich e Λ (X)} ψ,

$\psi\rightarrow{}e^{ie\Lambda(x)}\psi\,,$

und ähnliches für $\bar{\psi}$ plus das zusätzliche:

A_{μ} \to A_{μ} - \partial_{μ} Λ

$A_\mu\rightarrow{}A_\mu-\partial_\mu\Lambda$

Wo $\lambda$ ist jetzt eine Funktion (bitte vergessen und korrigieren Sie alle dummen Zeichen und Faktoren von i-Fehlern).

Tatsächlich wird der Lagrangian, an dem Sie interessiert sind, normalerweise wie folgt erhalten: Sie sehen sich zuerst den Dirac-Lagrangian an

L_{D} = \bar{ψ} [ich γ^{μ} \partial_{μ} - M] ψ

${\cal{L}}_D=\bar{\psi}\left[i\gamma^\mu\partial_\mu-m\right]\psi$

und beachten Sie, dass es unter dem Globalen unveränderlich ist $U(1)$ Transformationen. Dann frage dich, was passiert, wenn du an lokale Transformationen denkst und erkennst, dass die Dirac-Lagrange-Funktion nicht mehr invariant ist, aus dem einfachen Grund, dass die abgeleiteten Bilder einen zusätzlichen Term für die kommen $U(1)$ Faktor. Dann springen Sie zu einem Versuch, die Symmetrie wiederherzustellen, indem Sie den Ableitungsoperator um das Minimum modifizieren, das Ihnen einfällt, ein Vektorfeld hinzufügen und dafür beten, dass diese Summe die Symmetrie wiederherstellt. Die Symmetrie wird tatsächlich wiederhergestellt, wenn man das dem Vektorfeld auferlegt $A_\mu$ verwandelt sich als $A_\mu\rightarrow{}A_\mu-i\partial_\mu\Lambda$ (Wieder mache ich vielleicht Zeichenfehler, weil es sehr spät in der Nacht ist ... HAHAHA, aber ich bin sicher, Sie werden sie korrigieren).

Schließlich denkst du ... "HEY, ich habe ein neues Feld eingeführt (das Vektorfeld) und ich würde es lieben, wenn es auch eine physikalische Dynamik hätte, damit das System geschlossen ist. Aber die Transformationsregel, die ich gerade gefunden habe, ist genau was wir beim Studium der Elektrodynamik gefunden haben, also werde ich einfach das elektromagnetische Lagrange-FF zum ursprünglichen reinen Dirac-Feld hinzufügen, um zu sehen, was passiert.

Was Sie erhalten, ist der Lagrange, mit dem Sie begonnen haben, und durch direkten Vergleich mit der Standardelektrodynamik erhalten Sie die Interpretation dessen $\bar{\psi}\gamma^\mu\psi$ ist der elektromagnetische Vierstrom, und so sind Sie gezwungen, dies zu berücksichtigen $\bar{\psi}\gamma^0\psi$ als elektrische Ladungsdichte.

Da steckt noch mehr drin. Aus mathematischer Sicht $A_\mu$ ist die Verbindung eines Auftraggebers $U(1)$ Bündel (fragen Sie Juan Carlos) und $\psi$ ist ein Abschnitt eines zugehörigen Bündels. Die lokale $U(1)$ Funktionen, über die wir gesprochen haben, sind die „Übergangsfunktionen“ des Bündels und die Transformationsregeln, die „Guge-Transformationen“.

Ihre Berechnung ist süß, wie ich Ihnen bereits sagte, aber was Sie getan haben, war (bis auf Randbedingungen) der Beweis, dass die Wirkung der Elektrodynamik in Verbindung mit einem Dirac-Feld (es könnte Elektronen und ihre Antiteilchen darstellen) eichinvariant ist ( dh invariant unter den lokalen Transformationen)

Es stellt sich auch die Frage, warum um alles in der Welt wir uns überhaupt für lokale Transformationen interessiert haben. Nun, ich stelle mir gerne vor, dass viele Physiker Experimente in verschiedenen Labors durchführen, es ist klar, dass sie alle versuchen würden, zu beschreiben, was jeder von ihnen als geladene Teilchen sieht, und ihre Antiteilchen sollten von Dirac beschrieben werden, wenn sie die gleiche Physik beobachten würden durch ein Dirac-Feld beschrieben werden, sagt die Quantenmechanik, dass die Physik unter konstanten Phasenänderungen invariant sein sollte, dh global $U(1)$ Transformationen, aber es ist sehr, sehr schwer vorstellbar, dass alle Physiker in ihren jeweiligen Labors genau den gleichen Phasenwechsel in Bezug zueinander wählen, es ist viel vernünftiger zu glauben, dass jeder von ihnen eine Phase nach Belieben wählt (lokal $U(1)$ Transformationen)

Ich hoffe, ich konnte etwas helfen.

Mit freundlichen Grüßen

Mario

Vielen Dank für Ihren Hinweis. Irgendetwas verstehe ich trotzdem nicht. Ich habe meine Frage präzisiert - siehe meinen Beitrag, den Teil "HINZUGEFÜGT".

Benutzer227951 · Answer 2

Ich denke, dass man in QED normalerweise ein Messgerät vor dem Quantisieren festlegt (z $A^0=0$ oder $A^3=0$ ; dasselbe gilt für die Gupta-Bleuler-Quantisierung eines freien EM-Felds). Dies zerstört viele der Eichsymmetrien des Lagrange, daher kann man für sie keinen Noetherstrom konstruieren.

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Mario I. Caicedo

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Benutzer227951

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