Ist die Maxwell-Theorie auf nichttrivialen Mannigfaltigkeiten eichinvariant?

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Ist die Maxwell-Theorie auf nichttrivialen Mannigfaltigkeiten eichinvariant?

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Ich habe meinen Anteil an QFT geleistet, aber als Person mit hauptsächlich kondensierter Materie bin ich mit keiner Diskussion darüber vertraut, wie die Eichinvarianz der Maxwell-Theorie von der Mannigfaltigkeit abhängen könnte, auf der sie definiert ist. Ich kann mir vorstellen, dass dies irgendwo diskutiert wurde, aber ich kann online keine klaren Diskussionen finden.

Meine Frage ist folgende: Wir wissen, dass die Maxwell-Lagrangian mit Quellen ist

L_{M} = - \frac{1}{4} F^{μ v} F_{μ v} - A_{μ} J^{μ}

$\mathcal{L}_{M} = -\frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}-A_{\mu}J^{\mu}$

Die resultierenden Bewegungsgleichungen sind natürlich

\partial_{μ} F^{μ v} = J^{v} \Rightarrow \partial_{v} J^{v} = 0

$\partial_{\mu}F^{\mu\nu}=J^{\nu} \Rightarrow \partial_{\nu}J^{\nu}=0$

Unter einer Messgerättransformation $A_{\mu}\rightarrow A_{\mu}+\partial_{\mu}\Lambda$ , die Feldstärke ist unveränderlich, also haben wir

L_{M}^{'} = L_{M} - (\partial_{μ} Λ) J^{μ} = L_{M} - \partial_{μ} (Λ J^{μ})

$\mathcal{L}_{M}'=\mathcal{L}_{M}-\left(\partial_{\mu}\Lambda\right)J^{\mu} = \mathcal{L}_{M}-\partial_{\mu}\left(\Lambda J^{\mu}\right)$

Die übliche Geschichte ist, dass dies eine totale Ableitung ist, also müssen wir uns keine Sorgen machen, wenn sich die Randterme im Unendlichen gut verhalten. Was aber, wenn wir unsere Theorie auf, sagen wir, einer Sphäre mit endlicher Ausdehnung definieren? Was passiert dann? Es scheint, dass die Geschichte modifiziert werden muss, so sehr die Diskussion der Eichinvarianz in der Chern-Simons-Theorie etwas heikel wird. Kann mich jemand auf eine Referenz verweisen, in der dies diskutiert wird, oder vielleicht sagen, was an meiner Logik falsch ist? Ich habe noch nie eine Diskussion über diesen Punkt gehört, der mir seltsam vorkommt.

QMechaniker

Siehe auch: physical.stackexchange.com/q/175047/2451 und darin enthaltene Links.

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@Qmechanic - Entschuldigung, gibt es dort eine Diskussion über die Eichinvarianz? Ich sehe es nicht.

Alexander Nelson

@mflynn Ich denke, Qmechanic bezog sich auf die "Komma geht in Semikolon-Regel", die im Grunde besagt, wenn Sie alle partiellen Ableitungen in einer flachen Raumzeitgleichung (oder Theorie) zu kovarianten Ableitungen (unter Verwendung der Levi-Civita-Verbindung) umwandeln, dann die Gleichung (oder Theorie) verallgemeinert auf beliebige Raumzeit. Die auf beliebige Raumzeit verallgemeinerte Maxwell-Theorie wird in den von Qmechanic angegebenen Links diskutiert. Differentialformen verwenden

A \to A + d Λ

$A\to A + d\Lambda$ denn der Maßstab macht die Verallgemeinerung noch unmittelbarer ...

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@AlexNelson Richtig, ich kenne diese Geschichte. Ich stimme sicherlich zu, dass dies für die quellenfreie Theorie funktioniert. Aber ich kann nicht sehen, wie die Umwandlung von Ableitungen in kovariante Ableitungen die Grenzterme "aufsaugt", die aus den Quellen stammen; Mir geht es weniger darum, wie die Geometrie die Dynamik beeinflusst, als darum, wie wir es rechtfertigen können, die Grenzbegriffe wegzuwerfen.

Alexander Nelson

@mflynn Oh, Entschuldigung, mein Fehler. Ist es nicht so, dass wir wirklich mit dem Integranden der Aktion arbeiten, der einen Faktor von beinhaltet?

\sqrt{| g |}

$\sqrt{|g|}$ ? Dann kann man die partielle Integration und die Identität verwenden

\partial_{μ} (\sqrt{| g |} J^{μ}) = \sqrt{| g |} \nabla_{μ} J^{μ}

$\partial_\mu (\sqrt{|g|} J^\mu) = \sqrt{|g|} \nabla_\mu J^\mu$ ...ich glaube, es ist schon eine Weile her, seit ich mir die blutigen Details angeschaut habe...

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@AlexNelson Ich glaube, das ist richtig, ich denke, der Begriff, der aus der Spurtransformation stammt, wird zu einer Gesamtableitung. Aber dies taucht auch in der Chern-Simons-Theorie auf (in diesem Fall erhalten Sie eine totale Ableitung von Eichtransformationen, selbst wenn es keine Quellen gibt), und dort müssen Sie sehr vorsichtig sein, wenn Sie sagen, dass die Theorie eichinvariant ist. Wenn Sie es auf einer nicht trivialen Mannigfaltigkeit definieren, ist es möglicherweise nicht mehr eichinvariant, und dies ist ein großer Teil der Geschichte für die Quantisierung des Chern-Simons-Niveaus bei der Erklärung des ganzzahligen Quanten-Hall-Effekts.

Konifold

Die Eichinvarianz wird in der Chern-Simons-Theorie heikel, wenn Sie sie quantisieren möchten. Dann gibt es eine Eichanomalie, und die quantisierte Theorie ist unter globalen Eichtransformationen nicht invariant (sie benötigt Korrekturfaktoren). Es gibt ein ähnliches Problem mit der Maxwell-Theorie, das als Aharonov-Bohm-Effekt bekannt ist .

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@Conifold Vielen Dank für den Kommentar. Ich bin mit dem Aharanov-Bohm-Effekt in einigen spezifischen Fällen vertraut, aber ich muss mehr darüber nachdenken. Kommt der Aharanov-Bohm-Effekt auch ohne Quellen zum Tragen? Meine Intuition ist, dass dies nicht der Fall ist, aber ich möchte sicher sein.

Konifold

Technisch gesehen ist alles, was Sie brauchen, eine nicht-triviale Topologie. Quellen schaffen das, indem sie Punkte entfernen, aber Zylinder oder Tori haben es ohne Quellen. Solange Sie nicht kontrahierbare Schleifen in Ihrem Verteiler haben, die sich um sie herum bewegen, kann dies zu einer nicht trivialen Holonomie in der Eichgruppe und damit zu einer Eichanomalie führen.

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Ist die Maxwell-Theorie auf nichttrivialen Mannigfaltigkeiten eichinvariant?

Siehe auch: physical.stackexchange.com/q/175047/2451 und darin enthaltene Links.
@Qmechanic - Entschuldigung, gibt es dort eine Diskussion über die Eichinvarianz? Ich sehe es nicht.
@mflynn Ich denke, Qmechanic bezog sich auf die "Komma geht in Semikolon-Regel", die im Grunde besagt, wenn Sie alle partiellen Ableitungen in einer flachen Raumzeitgleichung (oder Theorie) zu kovarianten Ableitungen (unter Verwendung der Levi-Civita-Verbindung) umwandeln, dann die Gleichung (oder Theorie) verallgemeinert auf beliebige Raumzeit. Die auf beliebige Raumzeit verallgemeinerte Maxwell-Theorie wird in den von Qmechanic angegebenen Links diskutiert. Differentialformen verwenden $A\to A + d\Lambda$ denn der Maßstab macht die Verallgemeinerung noch unmittelbarer ...
@AlexNelson Richtig, ich kenne diese Geschichte. Ich stimme sicherlich zu, dass dies für die quellenfreie Theorie funktioniert. Aber ich kann nicht sehen, wie die Umwandlung von Ableitungen in kovariante Ableitungen die Grenzterme "aufsaugt", die aus den Quellen stammen; Mir geht es weniger darum, wie die Geometrie die Dynamik beeinflusst, als darum, wie wir es rechtfertigen können, die Grenzbegriffe wegzuwerfen.
@mflynn Oh, Entschuldigung, mein Fehler. Ist es nicht so, dass wir wirklich mit dem Integranden der Aktion arbeiten, der einen Faktor von beinhaltet? $\sqrt{|g|}$ ? Dann kann man die partielle Integration und die Identität verwenden $\partial_\mu (\sqrt{|g|} J^\mu) = \sqrt{|g|} \nabla_\mu J^\mu$ ...ich glaube, es ist schon eine Weile her, seit ich mir die blutigen Details angeschaut habe...
@AlexNelson Ich glaube, das ist richtig, ich denke, der Begriff, der aus der Spurtransformation stammt, wird zu einer Gesamtableitung. Aber dies taucht auch in der Chern-Simons-Theorie auf (in diesem Fall erhalten Sie eine totale Ableitung von Eichtransformationen, selbst wenn es keine Quellen gibt), und dort müssen Sie sehr vorsichtig sein, wenn Sie sagen, dass die Theorie eichinvariant ist. Wenn Sie es auf einer nicht trivialen Mannigfaltigkeit definieren, ist es möglicherweise nicht mehr eichinvariant, und dies ist ein großer Teil der Geschichte für die Quantisierung des Chern-Simons-Niveaus bei der Erklärung des ganzzahligen Quanten-Hall-Effekts.
Die Eichinvarianz wird in der Chern-Simons-Theorie heikel, wenn Sie sie quantisieren möchten. Dann gibt es eine Eichanomalie, und die quantisierte Theorie ist unter globalen Eichtransformationen nicht invariant (sie benötigt Korrekturfaktoren). Es gibt ein ähnliches Problem mit der Maxwell-Theorie, das als Aharonov-Bohm-Effekt bekannt ist .
@Conifold Vielen Dank für den Kommentar. Ich bin mit dem Aharanov-Bohm-Effekt in einigen spezifischen Fällen vertraut, aber ich muss mehr darüber nachdenken. Kommt der Aharanov-Bohm-Effekt auch ohne Quellen zum Tragen? Meine Intuition ist, dass dies nicht der Fall ist, aber ich möchte sicher sein.
Technisch gesehen ist alles, was Sie brauchen, eine nicht-triviale Topologie. Quellen schaffen das, indem sie Punkte entfernen, aber Zylinder oder Tori haben es ohne Quellen. Solange Sie nicht kontrahierbare Schleifen in Ihrem Verteiler haben, die sich um sie herum bewegen, kann dies zu einer nicht trivialen Holonomie in der Eichgruppe und damit zu einer Eichanomalie führen.

ACuriousMind · Answer 1

Die Maxwellsche und tatsächlich willkürliche Yang-Mills-Eichtheorie ist tatsächlich auf allen Mannigfaltigkeiten eichinvariant $M$ . Man kann die Aktion in einer offensichtlich geometrischen Weise schreiben als

S [A] = \int_{M} T R (F \land ⋆ F) + T R (A \land ⋆ J)

$S[A] = \int_M \mathrm{tr}(F\wedge{\star} F) + \mathrm{tr}(A\wedge{\star}j)$ Und

F = d A + A \land A

$F = \mathrm{d}A + A\wedge A$ , daher ist nirgendwo ein Ersatz gewöhnlicher Ableitungen durch kovariante Ableitungen erforderlich (denken Sie daran, dass die äußere Ableitung

d

$\mathrm{d}$ und die Keilprodukte

\land

$\wedge$ sind immer richtig kovariant, weil die Antisymmetrisierung in ihrer Definition die symmetrischen Terme abtötet, die die Kovarianz für eine gewöhnliche Ableitung verderben

\partial_{μ} A

$\partial_\mu A$ ).

Jetzt ist eine Messgerättransformation $A\mapsto gAg^{-1} + g^{-1}\mathrm{d}g$ , induzieren $F\mapsto gFg^{-1}$ , also ist der kinetische Term eichinvariant und der Kopplungsterm verhält sich wie

A \land ⋆ J \mapsto G A G^{- 1} \land G ⋆ J G^{- 1} + G^{- 1} D G \land ⋆ J

$A\wedge{\star}j\mapsto gAg^{-1} \wedge g{\star}jg^{-1} + g^{-1}\mathrm{d}g\wedge{\star}j$ Schreiben

g^{- 1} d g = d χ

$g^{-1}\mathrm{d}g = \mathrm{d}\chi$ für

g = \exp (χ)

$g =\exp(\chi)$ , wir bleiben bei der Überprüfung

\int_{M} D χ \land ⋆ J = \int_{M} D (χ \land ⋆ J) - \int_{M} χ \land D ⋆ J

$\int_M \mathrm{d}\chi\wedge{\star}j = \int_M \mathrm{d}(\chi\wedge{\star}j) - \int_M \chi\wedge\mathrm{d}{\star}j$ verschwindet, was tatsächlich der Fall ist: Der erste Term verschwindet nach dem Satz von Stokes und der Tatsache, dass Mannigfaltigkeiten keinen Rand haben, der zweite, weil der erhaltene Strom verschwindende Divergenz hat, und

d ⋆ j

$\mathrm{d}{\star}j$ ist nur die Divergenz des Stroms.

Eine nicht-triviale Topologie der Mannigfaltigkeit kann interessante Effekte haben (z. B. Aharonov-Bohm-Effekt), verdirbt aber niemals die Eichinvarianz.

Ich sehe jetzt! Vielen Dank! Ich habe nicht gesehen, dass der Satz von Stokes uns gerettet hat. Das macht sehr viel Sinn - ich weiß, dass wir uns normalerweise keine Sorgen um das Teil der Spurtransformation machen, das aus Quellen in der Chern-Simons-Theorie stammt, und das erklärt das auch. Sehr schön!

JG · Answer 2

Die offensichtliche Verallgemeinerung auf die gekrümmte Raumzeit ist $F_{\mu\nu}=\nabla_\mu A_\nu-\nabla_\nu A_\mu$ , aber in einer torsionsfreien Theorie wie der Allgemeinen Relativitätstheorie heben sich die Christoffel-Symbole auf, was die übliche Formel mit ergibt $\partial$ und damit die übliche Eichinvarianz. Beachten Sie, dass, wenn eine Transformation wirkt $\delta S = \int d^n x \partial_\mu V^\mu$ In $n$ -dimensionale Minkowski-Raumzeit dann multipliziert der allgemeine Fall das Integrationsmaß mit $\sqrt{|g|}$ und ersetzt die $\partial$ mit $\nabla$ , geben

δ S = \int D^{N} X \sqrt{| G |} \nabla_{μ} v^{μ} = \int D^{N} X \partial_{μ} (\sqrt{| G |} v^{μ}),

$\delta S = \int d^n x \sqrt{|g|}\nabla_\mu V^\mu = \int d^n x \partial_\mu \left( \sqrt{|g|} V^\mu\right),$ was immer noch ein Integral einer totalen Ableitung ist.

Ja, so viel war mir klar - meine Sorge war, dass der Grenzterm für eine Mannigfaltigkeit mit endlicher räumlicher Ausdehnung nicht verschwinden würde. Die obige Antwort hat diese Sorge für mich angesprochen.
Während die Theorie eichinvariant bleibt, gibt es überraschende Effekte in Räumen mit nichttrivialer Topologie. Betrachten Sie die Situation auf dem Cover von Theodore Frankels „Geometry of Physics“: Der Raum ist ein Würfel mit periodischen Randbedingungen. Ein Draht führt einen konstanten Strom von der Mitte der Unterseite zur Mitte der Oberseite (und so zurück durch die Unterseite). Der Strom ist zeitunabhängig, aber es gibt keine zeitunabhängige Lösung der Maxwell-Gleichungen in diesem topologischen nicht-trivialen Raum.

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