Wechselwirkung für QED mit geladenen Skalarteilchen

Question

Wechselwirkung für QED mit geladenen Skalarteilchen

Miniplank

Lassen $\mathcal{L}$ sei die Lagrangedichte für übliche QED mit skalaren, geladenen Teilchen (auch mit Photonen und Elektronen):

L = - \frac{1}{4} F_{μ v} F^{μ v} + \bar{ψ} (ich γ^{μ} \partial_{μ} - M) ψ - \partial_{μ} ϕ^{*} \partial^{μ} ϕ - M^{2} ϕ^{*} ϕ

$\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\bar{\psi}\left(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m \right)\psi - \partial_{\mu}\phi^*\partial^{\mu}\phi-M^2\phi^*\phi$

Ich habe versucht zu zeigen, dass die obige Lagrange-Funktion aufgrund von Symmetrien auf die gleiche Weise geschrieben werden kann, wenn $\partial_{\mu} \to D_{\mu}$ . Allerdings muss ich suchen $D_{\mu}$ . Die Symmetrie, die ich betrachte, ist so, dass

ψ \to ψ e^{ich Λ (X)}

$\psi \to \psi e^{i\Lambda(x)}$

ϕ \to ϕ e^{ich Λ (X)}

$\phi \to \phi e^{i\Lambda(x)}$

A_{μ} \to A_{μ} - \frac{1}{e} \partial_{μ} Λ (X)

$A_{\mu} \to A_{\mu}-\frac{1}{e}\partial_{\mu}\Lambda(x)$

Mein Versuch

Seit $\psi$ Und $\phi$ keine gekreuzten Begriffe zwischen ihnen haben, dachte ich, dass wir a hinzufügen sollten $\mathcal{L}_{int}$ (Wechselwirkungen) so, dass es den Begriff aufheben würde

- e \bar{ψ} γ^{μ} A_{μ} ψ

$-e\bar{\psi}\gamma^{\mu}A_{\mu}\psi$

das ergibt sich aus dem fermionischen Anteil. Somit, $\mathcal{L}_{int} = -e\bar{\psi}\gamma^{\mu}A_{\mu}\psi$ scheint den Trick zu tun. Das skalare Partikelbit scheint jedoch nicht trivial zu vereinfachen, da es einige verbleibende Terme gibt:

ich e A_{μ} [(\partial^{μ} ϕ^{*}) ϕ - ϕ^{*} \partial^{μ} ϕ] + e^{2} A_{μ} A^{μ} ϕ^{*} ϕ

$ieA_{\mu}\left[\left(\partial^{\mu}\phi^*\right)\phi-\phi^*\partial^{\mu}\phi\right]+e^2A_{\mu}A^{\mu}\phi^*\phi$

Dies würde geben $D_{\mu} = \partial_{\mu}+ieA_{\mu}$ .

Ist mein Vorgehen korrekt? Gibt es einen intuitiveren Weg, dies zu lösen?

Bearbeiten: Korrigierter Missbrauch von Konzepten, wie in den Kommentaren angegeben.

Benutzer303670

Wie können die Felder nicht gekoppelt werden, wenn beide Ladungen haben? Weil A Spin 1 hat?

Miniplank

@Duepietri Meine schlechte, falsche Verwendung von Konzepten. Ich hätte sagen sollen, dass es keine gekreuzten Begriffe zwischen ihnen gibt. Ich entschuldige mich.

Benutzer303670

Ich würde nur für mu kommentieren!

Miniplank

@Duepietri hat sich schon darum gekümmert :)

Benutzer303670

Nicht

\partial_{μ}

$\partial_{\mu}$ bereits in der freien Lagrangedichte der drei freien Körper durch die kovariante Ableitung ersetzt werden? Wenn Sie das freie Dirac-Feld messen, wird dies eingeführt.

Miniplank

@Duepietri Nein, erst nachdem die Eichinvarianz eingeführt wurde!

Benutzer303670

Ich denke, Sie müssen alle Wechselwirkungen zuerst in die Lagrange-Funktion aufnehmen. Zwischen A und dem Dirac-Feld und zwischen A und dem Skalarfeld. Und zwischen dem Skalarfeld und dem Dirac-Feld (über A). Diesen interagierenden Lagrange müssen Sie ausmessen. Wie es für das wechselwirkende Dirac-Feld allein getan wird, um ein masseloses A zu erhalten. Die Messung des freien Dirac-Felds ergibt ein masseloses A. Die Messung der wechselwirkenden Lagrange-Funktion ergibt eine kovariante Ableitung.

Miniplank

@Duepietri Ich glaube, so etwas habe ich noch nie gemacht. Ich werde es mir ansehen. Haben Sie Referenzen, die hilfreich sein könnten?

Benutzer303670

Sehen Sie sich an, wie die Dirac-Lagrange-Funktion hier geschrieben ist: quantummechanics.ucsd.edu/ph130a/130_notes/node508.html

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Wechselwirkung für QED mit geladenen Skalarteilchen

Wie können die Felder nicht gekoppelt werden, wenn beide Ladungen haben? Weil A Spin 1 hat?
@Duepietri Meine schlechte, falsche Verwendung von Konzepten. Ich hätte sagen sollen, dass es keine gekreuzten Begriffe zwischen ihnen gibt. Ich entschuldige mich.
Nicht $\partial_{\mu}$ bereits in der freien Lagrangedichte der drei freien Körper durch die kovariante Ableitung ersetzt werden? Wenn Sie das freie Dirac-Feld messen, wird dies eingeführt.
@Duepietri Nein, erst nachdem die Eichinvarianz eingeführt wurde!
Ich denke, Sie müssen alle Wechselwirkungen zuerst in die Lagrange-Funktion aufnehmen. Zwischen A und dem Dirac-Feld und zwischen A und dem Skalarfeld. Und zwischen dem Skalarfeld und dem Dirac-Feld (über A). Diesen interagierenden Lagrange müssen Sie ausmessen. Wie es für das wechselwirkende Dirac-Feld allein getan wird, um ein masseloses A zu erhalten. Die Messung des freien Dirac-Felds ergibt ein masseloses A. Die Messung der wechselwirkenden Lagrange-Funktion ergibt eine kovariante Ableitung.
@Duepietri Ich glaube, so etwas habe ich noch nie gemacht. Ich werde es mir ansehen. Haben Sie Referenzen, die hilfreich sein könnten?
Sehen Sie sich an, wie die Dirac-Lagrange-Funktion hier geschrieben ist: quantummechanics.ucsd.edu/ph130a/130_notes/node508.html

Miniplank · Answer 1

Dank @Duepietri bin ich zu einem Schluss gekommen. Unter Berücksichtigung dessen $D_{\mu}$ eichinvariant sein muss, die minimale Kopplung

D_{μ} = \partial_{μ} + ich e A_{μ}

$D_{\mu} = \partial_{\mu} + ieA_{\mu}$

würde einige Restterme ergeben, aus denen wir eine Wechselwirkung bilden könnten:

L_{ich N T} = - e \bar{ψ} γ^{μ} A_{μ} ψ - ich e A_{μ} [(\partial^{μ} ϕ^{*}) ϕ - ϕ^{*} \partial^{μ} ϕ] - e^{2} A_{μ} A^{μ} ϕ^{*} ϕ

$\mathcal{L}_{int} = -e\bar{\psi}\gamma^{\mu}A_{\mu}\psi -ieA_{\mu}\left[\left(\partial^{\mu}\phi^*\right)\phi-\phi^*\partial^{\mu}\phi\right]-e^2A_{\mu}A^{\mu}\phi^*\phi$

da wir uns identifizieren können $\mathcal{L}_{free}$ mit dem gleichen Ausdruck wie im Originalpost, mit $\partial_{\mu}$ anstatt $D_{\mu}$ .

Für diejenigen, die ein bisschen mehr darüber lesen möchten, würde ich die Online-Notiz von Matthew Schwartz (2012) über Scalar QED oder sein Buch Quantum Field Theory and The Standard Model von Matthew D. Schwartz empfehlen.

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Miniplank

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