Eichinvarianz beweisen (Erinnerung)

Im Buch Condensed Matter Field Theory gibt es auf Seite 17 die Übung, um zu überprüfen, ob die A J -Kopplung ist eichungsinvariant A μ → A μ ∂ μ Γ , Wo Γ ist eine beliebige Funktion. Ich bin da etwas eingerostet. Ich habe

∫ A μ J μ D 4 X → ∫ ( A μ + ∂ μ Γ ) J μ D 4 X ,

und der zweite Term muss Null sein (um eichinvariant zu sein). Partielle Integration des zweiten Terms, den ich bekomme

∫ ∂ μ ( Γ ) J μ D 4 X = Γ J μ | ? + ∫ Γ ∂ μ J μ D 4 X .

der zweite Term ist nach Stromerhaltung Null, aber was ist das Argument, um den ersten Term loszuwerden? Und wo wertet ihr das aus?

Γ (und oft J ) muss an der Grenze verschwinden.
Ja, richtig, aber ist das eine physikalische Aussage oder eine mathematische Annehmlichkeit?
Physisch. Es kommt Bedarf an endlicher Energie.
Könnten Sie das näher erläutern?
es ist beides. seine Endlichkeit von Energie-Impuls-Fluss, Drehimpuls-Fluss und Ladungsfluss durch die Grenze des Systems (die hier im Unendlichen liegt).

Antworten (1)

In der theoretischen Physik ist es üblich, Randterme unbesorgt wegzuwerfen. Der genaue Grund, warum Sie dies tun können, hängt davon ab, was Sie tun, und kann oft ziemlich mathematisch technisch sein.

In diesem Fall wird beispielsweise die Integration über den gesamten Raum vorgenommen. Da machst du a 4 D Integral, der Randterm ist eigentlich ein weiteres Integral. Sie können es sich als Integration auf der "Sphäre im Unendlichen" vorstellen. Konkret würde es ausreichen, dies zu verlangen J μ → 0 im Unendlichen während Γ ist begrenzt. Warum fordern wir das? Es ist vernünftig zu erwarten, dass dies zum Beispiel gilt, wenn die Quelle lokalisiert ist. Andere Argumente könnten die Gesamtgebühr berechnen Q = ∫ J 0 . Zum Beispiel wenn J μ → C ≠ 0 dann konstant Q wäre unendlich, was je nach Situation unphysikalisch sein kann. Hier gibt es jedoch viele technische Probleme (z. B. gibt es unbegrenzte Funktionen mit endlichem Integral). In anderen Einstellungen (Variationsprinzipien) können Sie davon ausgehen, dass die Variation auf dem Integrationsintervall kompakt unterstützt wird, um Randterme zu vernichten, aber dann treten andere Probleme auf.

Fazit: Wirf diese Randbedingungen weg! Sie werden fast immer irrelevant sein. Es gibt Fälle, in denen dies nicht der Fall ist, aber der Autor wird sicherlich darauf hinweisen.

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