Warum benötigen wir lokale Eichinvarianz?

Meine Gedanken dazu sind etwas verstreut, also entschuldige ich mich im Voraus.

Die Maxwell-Gleichungen sind eichinvariant. Die physikalischen elektrischen und magnetischen Felder hängen nicht davon ab, ob wir sie verwenden$A_\mu$oder$A_\mu+\partial_\mu\Lambda$. Wir haben das kostenlose EM Lagrange$\mathcal{L}=\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$woraus wir die Maxwell-Gleichungen ableiten können. Es ist daher sinnvoll, dass die Wirkung, die von dieser Lagrangefunktion stammt, auch eichinvariant ist.

Mein Problem entsteht, wenn wir an Materie koppeln.

Nehmen wir den Lagrange-Operator für an Materie gekoppelte EM-Felder;

Unter$A_\mu\rightarrow A_\mu+\partial_\mu\Lambda$der Wechselwirkungsterm transformiert sich zu

Unter Vernachlässigung des totalen Ableitungsterms erfordert die Invarianz der Aktion dann$\partial_\mu j^\mu=0$.

Dies ist im Allgemeinen der Punkt, an dem Lehrbücher sagen, dass wir a finden können$j^\mu$aus den Materiefeldern nach dem Noether-Theorem zusammengesetzt; für Spinorfelder unter global$U(1)$Transformationen, die wir haben würden$j^\mu=\bar{\Psi}\gamma^\mu\Psi$.

Dieser konservierte Strom wird jedoch nur erhalten, wenn sich die Materiefelder auf der Schale befinden, aber wir benötigen (vermutlich) eine Eichinvarianz der Wirkung, selbst wenn die Felder außerhalb der Schale liegen. (Bitte korrigieren Sie mich, wenn dies falsch ist). Wenn die Felder Off-Shell sind, können wir den zusätzlichen Term aufheben, den wir erhalten, indem wir verlangen, dass die Materiefelder in geeigneter Weise unter lokal transformiert werden$U(1)$Transformation. Wir können dann unsere Definition der Eichinvarianz auf eine lokale aktualisieren$U(1)$Transformation der Materiefelder und die übliche Transformation der EM-Felder.

Meine Frage; Warum sollten wir das überhaupt wollen? Auch wenn wir den Zusatztermin haben$j^\mu\partial_\mu\Lambda$Die Maxwell-Gleichungen bleiben unbeeinflusst, weshalb wir überhaupt eine Eichinvarianz wollten. Aus dieser Perspektive spielt der zusätzliche Begriff keine Rolle.

Nun muss ich zugeben, dass mein klassisches EM-Wissen etwas eingerostet ist, also gedulden Sie sich mit diesem nächsten Punkt. Offensichtlich sind die Spinor-Bewegungsgleichungen unter der Transformation von nicht invariant$A_\mu$aber gibt es einen bestimmten Grund, warum das so sein sollte? Nur weil das 4-Potenzial im reinen EM-Bereich nicht beobachtbar ist, ist es im Spinor-Bereich zwangsläufig so?

Beim Schreiben dieses Beitrags ist mir auch ein Gedanke gekommen; wenn wir den Begriff zulassen$j^\mu\partial_\mu\Lambda$dann im Lagrange erscheinen$\partial_\mu\Lambda$selbst wird zu einem dynamischen Feld. Ich kann mir vorstellen, dass dies zu Problemen in Bezug auf die Renormalisierbarkeit (Raten) führen könnte, aber eine unmittelbarere Folge davon ist die Unmöglichkeit von Interaktionen. die Feldgleichung für$\partial_\mu\Lambda$Ist$j^\mu=0$, wir haben also keine Interaktion. Wir könnten aber behaupten, dass das Feld ist$\Lambda$anstatt$\partial_\mu\Lambda$, in diesem Fall ist die Feldgleichung$\partial_\mu j^\mu=0$.

Ich gebe zu, dieser Beitrag ist ein bisschen weit hergeholt. Meine Fragen laufen im Wesentlichen darauf hinaus;

• Da der Strom nur auf der Schale erhalten bleibt, warum verwenden wir den Satz von Neother, um den Strom zu erzeugen, den wir mit dem EM-Potential koppeln?

• Auch wenn wir den zusätzlichen Begriff nicht verbannen, wie verarscht sind wir? Führt der zusätzliche Term zu Problemen in Bezug auf die Renormierbarkeit oder haben die resultierenden Spinorgleichungen Eigenschaften, die nicht mit Experimenten übereinstimmen? Wir könnten einfach von globalen zu lokalen Transformationen der Spinoren gehen und alles funktioniert gut, aber warum sollten wir das tun wollen, abgesehen davon, dass lokale Transformationen wie eine allgemeinere Alternative zu globalen erscheinen?