Können wir für das freie elektromagnetische Feld den Begriff „U(1)-Eichinvarianz“ verwenden?

OP hat Recht. Das Feld$A^\mu$ist eine Verbindung und lebt daher in der Algebra der Eichgruppe, nicht in der Gruppe selbst. In diesem Fall,$\mathfrak u(1)=\mathbb R$. Auf den ersten Blick ist dies alles, woraus wir schließen können$A\to A+\mathrm d\Lambda$. Die Gruppe$\mathrm U(1)$ist anscheinend noch nicht da.

Die korrekte Aussage ist, dass die Theorie von beschrieben wird$A^\mu$hat ein$\mathfrak{u}(1)$Symmetrie messen. Durch Potenzieren können wir beides erhalten$\mathrm U(1)$oder seine universelle Abdeckung,$\mathbb R$. Welche dieser Gruppen die "richtige" Eichgruppe ist, hängt von den globalen Eigenschaften ab$A$, die nicht durch die Algebra festgelegt sind. Stattdessen werden diese durch das betrachtete System festgelegt: einige$\mathfrak u(1)$Theorien potenzieren sich$\mathrm U(1)$und einige andere zu$\mathbb R$. Und welche davon die richtige Gruppe ist, lässt sich nur aus der Physik des betrachteten Problems erkennen.

Im Fall von YM+matter ist die richtige Option$\mathrm U(1)$(weil wir fordern$\psi$einwertig sein). In einigen anderen Systemen (wie der Theorie des fraktionierten Hall-Effekts) ist die Algebra$\mathfrak u(1)$tatsächlich potenziert zu$\mathbb R$. Im Allgemeinen gibt es keine einzige Option, beide sind im Prinzip gültig. In diesem Sinne ist es besser zu sagen, dass der freie Elektromagnetismus die Theorie von a ist$\mathfrak u(1)$Eichsymmetrie (was nicht unbedingt entspricht$\mathrm U(1)$, aber es kann entsprechen$\mathbb R$stattdessen).

Du kannst das ... sehen$U(1)$Transformation für das freie elektromagnetische Feld in den Wilson-Schleifen (Holonomien): Mit$A'_\mu = A_\mu+\partial_\mu\Lambda(x)$

Die Holonomien eines Hauptbündels spiegeln im Allgemeinen die Strukturgruppe des Bündels wider. Wenn der Pfad geschlossen ist, zeigt die obige Formel Null-Holonomie.

Wenn jedoch ein magnetischer Fluss innerhalb der Schleife fließt, dann$d\Lambda$wird nicht genau sein, aber geschlossen, es wird eine Netzphase nach einer vollen Umdrehung geben. Wenn die Raumzeit-Mannigfaltigkeit eine nichttriviale Topologie hat (nicht verschwindende Fundamentalgruppe). Diese Holonomiefaktoren sind messbar und gehören zur Gruppe$U(1)$.

Ja wir können; Die Theorie genießt immer noch lokale Invarianz.

In kovariantem EM haben Sie den Feldstärketensor$F^{\mu\nu}$über das Potenzial definiert$A^\mu$als

Dies impliziert die Invarianz der Lagrangian$\mathcal{L} = -\frac{1}{4} F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$.

Nachtrag:

Wir haben gesehen, dass die Invarianz in einer Funktion „ohne interne Indizes“ (und auch ohne Raumzeit-Indizes, aber das ist unwichtig) kodiert ist. Wenn wir die Transformation machen$\Lambda(x)$eine starre Transformation,$\Lambda$ist nur eine (echte) Konstante. Starre Transformationen werden also durch reelle Zahlen parametrisiert, und$\mathbb{R}$ist die Lie-Algebra der Gruppe$U(1)$.

Wir können die Verbindung mit sehen$U(1)$auf andere Weise. Aus Gründen möchte man, dass die Eichsymmetriegruppe kompakt ist, also muss die Symmetriegruppe (isomorph zu) sein$\mathbb{R}/Z$Wo$Z$ist eine diskrete Untergruppe von$\mathbb{R}$; alle diese Quotienten sind isomorph zu$U(1)$.

Dann kann man untersuchen, wie sich Materiefelder möglicherweise unter Eichtransformation transformieren können, indem man die Darstellungen von untersucht$U(1)$; es stellt sich heraus, dass sie tatsächlich alle die Form haben$\exp(i n \Lambda)$mit Ganzzahl$n$und echt$\Lambda \in \text{Lie } U(1) \simeq \mathbb{R}$.

Wir haben den gleichen Begriff der Eichinvarianz in beiden Theorien, dh EM und QED. In beiden ist die Eichtransformation durch eine reelle Funktion gegeben ($\theta (x)$in QED u$\Lambda (x)$bei EM). In der QED sprechen wir von U(1)-Symmetrie, weil diese reelle Funktion als willkürliche Phase für die Wellenfunktion erscheint$\psi (x)$und so ist die Geometrie der Symmetriegruppe$S^1$. In EM ist die Geometrie der Eichsymmetrie jedoch eine echte Linie. Im Prinzip gibt es topologisch keinen Unterschied zwischen$S^1$Und$R^1$.