Coulomb-Eichung in der speziellen Relativitätstheorie (für QFT)

Question

Coulomb-Eichung in der speziellen Relativitätstheorie (für QFT)

StarBuck

Ich verstehe das Verfahren des Coulomb-Gauges nicht ganz, das wir in der speziellen Relativitätstheorie anwenden.

Hier ist, was ich verstanden habe.

Wir haben:

F_{μ v} = \partial_{μ} A_{v} - \partial_{v} A_{μ}

$F_{\mu \nu}=\partial_{\mu} A_{\nu} - \partial_{\nu} A_{\mu}$

Es ist eine Mengeninvariante unter einer Eichtransformation:

A_{μ} \to A_{μ} + \partial_{μ} Λ .

$A_\mu \rightarrow A_\mu + \partial_\mu \Lambda.$

Jetzt wissen wir, dass wir reparieren können $A$ die Coulomb-Eichung zu respektieren . Es bedeutet, dass wenn wir sagen $div(A)=0$ die Gleichungen der Felder ändern sich nicht ( $B=curl(A)$ bleibt zum Beispiel gleich. Gleiches gilt für das elektrische Feld).

Somit können wir in jeder Wahl auferlegen $A$ (wie sie sich unterscheiden können $\partial_\mu \Lambda$ ) : $div(A)=0$ : Die Physik wird sich dadurch nicht ändern.

Zuerst als $A_i \rightarrow A_i + \partial_i \Lambda$ wir haben das Messgerät, das genügen muss: $\Delta \Lambda=0$

Ich verwende die Maxwell-Gleichungen:

$\partial^i F_{i0}=\partial^i(\partial_i A_0 - \partial_0 A_i)=0$

So : $\Delta A_0=0$ .

Auf der Bühne sehe ich, dass ich, wenn ich das Coulomb-Messgerät verwende, Folgendes haben werde:

Δ Λ = 0

$\Delta \Lambda=0$ Und

Δ A_{0} = 0.

$\Delta A_0=0.$

Jetzt in meinem Kurs steht geschrieben, dass durch eine schöne Auswahl von $\Lambda$ unter Coulomb-Messgerät ist es möglich zu haben

D ich v (A) = 0, A_{0} = 0

$div(A)=0, A_0=0$

Ich bin mir nicht sicher, wie ich die zweite Bedingung erhalten soll?

Ist es so etwas wie:

$A_0'=A_0+\partial_0 \Lambda$ .

ich wähle $\Lambda$ wie zum Beispiel $\partial_0 \Lambda = - A_0'$ .

Wenn ich dann mit arbeite $A'$ (und nicht $A$ ), Ich hätte : $div(A')=0, A_0'=0$ .

Aber wenn es das Richtige ist: wie können wir wissen, dass es möglich ist, gleichzeitig zu haben $\Delta \Lambda=0$ Und $\partial_0 \Lambda=-A_0'$ .

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Coulomb-Eichung in der speziellen Relativitätstheorie (für QFT)

Prahar · Answer 1

Das Ergebnis ist eine Konsequenz aus einem Theorem, an dessen Namen ich mich im Moment nicht erinnern kann. Die Aussage des Theorems lautet wie folgt.

Wenn $\Delta f (x) = 0$ Und $f(x)$ ist eine Funktion, die auf eine Konstante geht $f_0$ überall an der Grenze $B$ eines Volumens $V$ Dann $f(x) = f_0$ überall drinnen $V$ . (Beachten Sie, dass dieser Satz nur in euklidischen Räumen funktioniert, da dies erforderlich ist $\Delta$ ist ein positiv-definiter Operator. Sie kann daher nicht auf Wellengleichungen des Typs angewendet werden $\Box \phi = - \partial_t^2 \phi + \Delta \phi=0$ )

In Eichtheorien wird angenommen, dass alle Felder im räumlichen Unendlichen verschwinden $x \to \infty$ . Dann haben wir den Fall $\Delta A_0 = 0$ Und $A_0$ geht zu einer Konstante $A_0 = 0$ überall an der Grenze $B$ (ist unendlich) des Raumes. Also müssen wir nach dem Satz haben $A_0 = 0$ überall.

"Das Ergebnis ist eine Konsequenz aus einem Satz, dessen Namen ich mir im Moment nicht merken kann" - Earnshaws Theorem?

JamalS · Answer 2

Die Frage ist etwas unklar, aber ich werde versuchen, sie nach meinem Verständnis zu beantworten. Mit Coulomb-Messgerät meinen wir, dass wir einstellen,

\nabla \cdot \vec{A} = 0.

$\nabla \cdot \vec A = 0.$

Was wir damit meinen, und der Grund dafür, dass es sich um eine gültige Messgerätbedingung handelt, ist, dass jede Feldkonfiguration gegeben ist $A^\mu$ die die Bewegungsgleichungen löst, können wir immer eine Eichtransformation verwenden, um sie zu zwingen, diese Einschränkung zu erfüllen, und nehmen sie daher a priori .

In diesem Fall, wenn ich habe $\partial_i A^i = f(x)$ , dann kann ich die Änderung vornehmen, $A_\mu \to A'_\mu =A_\mu + \partial_\mu \phi$ wo wir wählen $\phi$ so dass,

\partial_{ich} A^{' ich} = \partial_{ich} A^{ich} + \partial_{ich} \partial^{ich} ϕ = 0

$\partial_i A'^i = \partial_i A^i + \partial_i \partial^i\phi = 0$

oder deutlicher,

\partial_{ich} \partial^{ich} ϕ = - F (X) ⟹ \nabla^{2} ϕ = - F (X) .

$\partial_i\partial^i\phi = -f(x) \implies \nabla^2 \phi = -f(x).$

Die letzte Gleichung ist die Laplace-Gleichung, von der wir wissen, dass sie eine Lösung zulässt, was unsere Wahl des Eichs rechtfertigt, da wir immer eine Eichtransformation für jede Lösung finden können, um sie in eine Form zu bringen, die sie erfüllt.

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StarBuck

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