Was sind all die Eichsymmetrien und Ableitungen des QED-Lagrangians?

Question

Was sind all die Eichsymmetrien und Ableitungen des QED-Lagrangians?

Messgerät
Physik
Eichtheorie
Differenzierung
Elektromagnetismus
Eichinvarianz

das_photon

Ich finde, dass die Eichsymmetrien des Lagranges ein Thema sind, das ziemlich verschleiert wird. Ich versuche, das Gesamtbild davon in QED zu verstehen. Mein Verständnis ist folgendes:

Gauge leitet seinen Namen letztendlich von dem ab, was ich die
klassische Eichtransformation des klassischen Elektromagnetismus nenne: $\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}' + \nabla f$ .
In der QED ist das Raumzeitäquivalent dazu $A_\mu \rightarrow A_\mu + \frac{1}{g}(\partial_\mu \Lambda)$ .
Grundlegende Raumzeitsymmetrie erfordert, dass wir globale Symmetrie haben, wofür wir sie haben $\phi \rightarrow e^{i \theta} \phi$ .
Andere Raumzeitsymmetrien erfordern, dass wir lokale Symmetrie haben, wofür wir sie haben $\phi \rightarrow e^{i \theta (x)} \phi$ .
Sie müssen eine kovariante Eichableitung haben, also haben wir $\partial_\mu \rightarrow \partial_\mu - igA_\mu$ .

Meine Frage lautet nun: Sind die oben genannten Eichsymmetrien und Ableitungen (dh 2 bis 5) redundant? Ist zum Beispiel Regel 5 oben tatsächlich dasselbe wie Regel 2?

Antworten (1)

Was sind all die Eichsymmetrien und Ableitungen des QED-Lagrangians?

spiridon_the_sun_rotator · Answer 1

Die 2) ist Lorentz-invariante Art, die 1) zu schreiben.

Die 5) ist eine Möglichkeit, die Ableitung zu modifizieren, um die Theorie-Eichung unveränderlich zu machen. Für den einfachen Fall eines komplexen Skalarfeldes $\phi$ mit $U(1)$ Eichsymmetrie sieht die Lagrangian wie folgt aus:

L = \partial_{μ} ϕ^{*} \partial^{μ} ϕ + \dots

$\mathcal{L} = \partial_\mu \phi^{*} \partial^{\mu} \phi + \ldots$ Anwenden einer infinitesimalen positionsabhängigen Transformation

ϕ \to e^{i θ} ϕ

$\phi \rightarrow e^{i \theta}\phi$ , erhält man in der niedrigsten Ordnung:

δ L = ich \partial_{μ} θ (ϕ^{*} \partial^{μ} ϕ - ϕ \partial^{μ} ϕ^{*})

$\delta \mathcal{L} = i \partial_\mu \theta (\phi^{*} \partial^{\mu} \phi - \phi \partial^{\mu} \phi^{*})$ Um diese Änderung in der Lagrange-Funktion aufzuheben, muss man also fördern

\partial_{μ}

$\partial_\mu$ Zu

\partial_{μ} + i A_{μ}

$\partial_\mu + i A_\mu$ , mit den oben genannten Transformationseigenschaften :

A_{μ} \to A_{μ} + \partial_{μ} θ

$A_\mu \rightarrow A_\mu + \partial_\mu \theta$ . Damit würde die gleichzeitige Transformation beider Felder die Lagranigsche Invariante verlassen.

Zu 3) und 4) - man sollte zwischen globaler und Eichsymmetrie unterscheiden, weil sie unterschiedliche Bedeutung haben. Die globale Symmetrie - ist eine Reihe von Transformationen, die unsere Theorie invariant lassen, und die Eichsymmetrie ist, wie oft gesagt wird, eigentlich keine Symmetrie, sondern eine Redundanz in der Beschreibung der Theorie.

Was sind all die Eichsymmetrien und Ableitungen des QED-Lagrangians?

das_photon

Antworten (1)

spiridon_the_sun_rotator

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