Ich arbeite mich durch Griffiths Einführung in die Elektrodynamik. In Ch. 10 werden Eichtransformationen eingeführt. Der Autor zeigt dies bei gegebenem magnetischen Potential und elektrische Potentiale , können wir einen neuen Satz äquivalenter magnetischer und elektrischer Potentiale erzeugen, die gegeben sind durch:
Diese Transformationen werden als "Gauge-Transformation" bezeichnet . Der Autor führt dann zwei dieser Transformationen ein, die Coulomb- und die Lorenz-Eichung, die jeweils definiert sind als:
Hier bin ich verwirrt. Ich verstehe nicht, wie man die Divergenz auswählt einer dieser beiden Werte zu sein, stellt tatsächlich eine Eichtransformation dar, da sie die Bedingungen der beiden obersten Gleichungen erfüllt. Woher wissen wir, dass eine solche existiert sogar zum Einstellen der Divergenz von auf einen dieser Werte. Kann mich jemand davon überzeugen, dass eine solche Funktion für beide Transformationen existiert, oder mir irgendwie zeigen, dass diese Transformationen tatsächlich "Eichtransformationen" sind, wie sie oben definiert sind?
Kommentar zur Frage (v1): Es scheint, dass OP einerseits eine Messgerättransformation verschmilzt
mit andererseits einer eichfixierenden Bedingung , d. h. Wahl eines Eichmaßes, wie z.
Eine Eichtransformation kann z. B. zwischen zwei Eichfixierungszuständen erfolgen. Allgemeiner laufen Eichtransformationen entlang Eichbahnbahnen. Idealerweise schneidet eine Messgerät-Befestigungsbedingung alle Messgerät-Umlaufbahnen genau einmal.
Mathematisch ist es je nach Topologie der Raumzeit oft eine nicht triviale Frage, ob eine solche Eichfixierungsbedingung global wohldefiniert ist und das Eichfeld eindeutig spezifiziert, vgl. zB das Gribov-Problem . Die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen für Eichbedingungen ist das Thema mehrerer Phys.SE-Posts, siehe zB this und this Phys.SE posts.
Die Coulomb- und Lorenz-Eichungen sind Eichfixierungsbedingungen, keine Eichtransformationen. Ihre Frage macht immer noch Sinn, aber sie sollte eher so formuliert werden: Wie können Sie das für willkürlich beweisen Und es existiert immer eine Eichtransformation zu Feldern Und die diese Bedingungen erfüllen? Tatsächlich gibt es immer viele solcher Transformationen (diese Bedingungen fixieren das Messgerät nicht vollständig).
Für die Coulomb-Eichbedingung benötigen wir . Dies ist die Poisson-Gleichung , die gelöst werden kann mit Greenschen Funktionen. Der Lorenz-Fall ist einfacher, wenn Sie vier Vektoren verwenden, in diesem Fall erhalten Sie eine 3 + 1-dimensionale Version der Poisson-Gleichung.
Danu